两个导数证明题

chaijining

• $\begin{aligned}
  f(x)&=a e^{2 x}+(a-2) e^x-x \\
  f(x_1)&=f(x_2)=0 \quad(x_1<x_2)
  \end{aligned}$
  pro：（from Mr wang）
  （1）$0<x_1+x_2<-\ln a, x_1 x_2>\frac{4}{3} \ln a$
  （2）$x_1+x_2+x_1 x_2<0$
• 设函数 $f_n(x)=e^x-\left(1+x+\frac{1}{2!} x^2+\frac{1}{3!} x^3+\cdots+\frac{1}{n!} x^n\right)$，若 $k \inZ$
  I：求函数 $f_1(x)$ 和 $f_2(x)$ 的单调区间，分析 $f_n(x)$ 的单调性。
  II：求证 $f_{2 k-1}(x)=1$ 有两个根 $a_{2 k-1}, b_{2 k-1}$
  III：记 II 中的零点为 $a_{2 k-1}>0, b_{2 k-1}<0$，求证：$a_{2 k+1}>a_{2 k-1}$ 且 $b_{2 k-1}>b_{2 k+1}$