一个导数问题

chaijining

设函数 $f(x)=2 a x-\frac{b}{x}+\ln x$
（1）当 $b=a$ 时，若 $f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上是单调函数，求 $a$ 的取值范围；
（2）若 $f(x)$ 在 $x=m, x=n(m<n)$ 处取得极值，方程 $f(x)=c$ 在 $(0,2 n]$ 上有唯一解，则 $c$ 的取值范围为 $\{x \mid x=x_0$ 或 $s \leq x \leq t\}$，求 $t-s$ 的最大值．