关于抛物线的几个常规问题(普高高三复习)--

realnumber

问题1：直线l与抛物线C:$y^2=8x$相切，切点为A(2,4),求直线l的方程.

方法一：设l的方程为$y-4=k(x-2)$(过A斜率不存在的直线显然不合要求),与抛物线方程联列，消去y得到,
$(kx+4-2k)^2=8x$,即$k^2x^2+(2k(4-2k)-8)x+(4-2k)^2=0$
判别式$Δ_1=(2k(4-2k)-8)^2-4k^2(4-2k)^2=64-32k(4-2k)=0$,得到k=1，....以下略.


方法二：设l的方程为$m(y-4)=x-2$(过A斜率0的直线显然不合要求),与抛物线方程联列，消去x得到,
$y^2=8(my-4m+2)$,即$y^2-8my+32m-16=0$
判别式$Δ_2=64m^2-4(32m-16)=0$,得到m=1，....以下略.

(悟性好，思维敏捷的学生不需要下面这步吧，而一般的学生不会主动去琢磨，以为都比较困难，没那个习惯，所以多化些时间，不止理解，即使于记忆也有好处)比较两个判别式为什么一个难算，难在哪里？(找原因，总要分析来源)，那么次数高是怎么产生的？看来代换有小小的技巧，这就可以理解为什么浙江卷理科大多考椭圆为背景的解答题，文科则是抛物线.

方法三：$y^2=8x$，解得$y=2\sqrt{2x}$,(考虑到A在第一象限，去掉$y=-2\sqrt{2x}$)
$y'=\sqrt{\frac{2}{x}}$,当x=2时，$y'=1$,即切线斜率为1，....以下略.
为什么老师不直接讲最简单的第三个方法，而自找麻烦从复杂到简单，逐个分析？1.需要对比，积累经验.2.本题确实是3最简单，解决其它问题，1，2却是基本办法.

爪机专用

写出抛物线关于切点对称的抛物线，两抛物线相减即得。

realnumber

求直线l：y=x+1,被抛物线C:$4y=x^2$所截得的弦AB的长.

方法一：联列方程，消去y,$x^2-4x-4=0$,求出交点坐标$x_1=2+2\sqrt{2},x_2=2-2\sqrt{2}$，再利用两点的距离公式，...

方法二：设$A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$,
那么${\abs{AB}}^2=(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2=(x_1-x_2)^2+((x_1+1)-(x_2+1))^2=2((x_1+x_2)^2-4x_1x_2)$,
以下用韦达定理，...略.

方法二改进：如果看出y=x+1过焦点的同学，还可以这样，由抛物线定义，$\abs{AB}=(y_1+1)+(y_2+1)=x_1+x_2+4$,以下用略.

realnumber

回复 2# 爪机专用
恩，我怎么没想到，看来“抛砖引玉”有道理.

realnumber

AB是抛物线$y^2=2px,p>0$过焦点的弦，连接AO,交准线于D,求证BD平行x轴.
---昨天群里看到，坐标法不提了，用其它办法，那么应该指，用抛物线定义，平几的办法.

realnumber

回复 5# realnumber
(也可以过B作准线垂线，垂足为M,再同一法说明D，M重合.同一法应该可以避开的，转换了下还是同一法，有没避开的可能？ )
过A作准线垂线，垂足为E, ---参考16，17楼，用同一法，避开同一法，暂时没想出来,我平几很差的~~.
准线与X轴交点为H.

战巡

回复 1# realnumber


最简单的是这样
\[y^2=8x\]
\[2yy'=8\]
\[y'=1\]

isee

回复 7# 战巡

我经常这么干，但是学生不懂这个，对数学有兴趣，丢一本微积分入门过去，根本又不需要讲。没兴趣的呢，听都想得听，就主楼的法3就满足了，计算不出错，就是万福了。


而2楼呢，又有一个难点，就是两二次曲线交点曲线系，这新课标上也没。
好多过两直线的交点的直线系都不能理解，别谈这些了。

不过，这样做，还真是受启发，因为不曾经这样求切线。

isee

几何法，看通俗数学名著译丛书之一的 圆锥曲线的几何性质，蒋声 译。

爪机专用

回复 8# isee

2#的方法还可以求中点弦，切线可以看作其退化。
椭圆神马的也行

realnumber

回复 7# 战巡

恩，圆，椭圆，双曲线都有类似结论，没给普高学生说.

战巡

求直线l：y=x+1,被抛物线C:$4y=x^2$所截得的弦AB的长.

方法一：联列方程，消去y,$x^2-4x-4=0$,求出交点坐 ...
realnumber 发表于 2013-11-15 09:01

参数方程其实挺简单的...
\[y=1+\frac{t}{\sqrt{2}},x=\frac{t}{\sqrt{2}}\]
然后有
\[4+4\frac{t}{\sqrt{2}}=\frac{t^2}{2}\]
\[L=\abs{t_1-t_2}=\sqrt{(4\sqrt{2})^2+4·4·2}=8\]

realnumber

研究5楼~~

realnumber

AB为过抛物线$y^2=2px,p>0$焦点的弦，BD垂直准线于D,求证：A,O,D三点共线.

realnumber

回复 12# 战巡
教材已经被专家修改了，这部分内容放到考重点的那里去了

战巡

AB为过抛物线$y^2=2px,p>0$焦点的弦，BD垂直准线于D,求证：A,O,D三点共线.
realnumber 发表于 2013-11-15 12:52

这个，其实可以视为纯几何问题.......
梯形$ABDC$，$EF∥AC∥BD$，且$BF=BD,AF=AC$
连$AD$，交$EF$于$O'$，下面就证明$O'$为$EF$中点（即与$O$重合）
\[\frac{EO'}{AC}=\frac{DE}{CE+DE}=\frac{BF}{AB}\]
\[EO'=\frac{AC·BF}{AB}\]
同理
\[FO'=\frac{BD·AF}{AB}\]
加上前面的条件就有$EO'=FO'$了

乌贼

连接$AD$，过$A$作$AE\perp DG,C$为$EA,DF$的交点
$\angle FAE+\angle FBD=\angle AFE+\angle AEF+\angle BFD+\angle BDF=180\du\riff\angle AFE+\angle BFD=90\du\riff\angle AFE+\angle CFA=90\du\riff\angle AFC=\angle ACF\riff AC=AF=AE$又$FG//EC\riff AE$过$FG$中点$O$
g]

乌贼

回复 17# 乌贼
这样更简单$CE//DB\riff\angle ACF=\angle FDB=\angle BFD=\angle FCA\riff AC=AF=AE$
又$FG//EC\riff AE$过$FG$中点$O$。

realnumber

16楼检查过了，没问题，很简洁，17楼也没问题，最后一句输入符号有笔误，AD过FG

realnumber

问题3.3

过抛物线$y^2=4x$的焦点F的直线交该抛物线于A,B两点.若$\abs{AF}=3$,则$\abs{BF}=$_______.
AE垂直准线于E.
方法一：由抛物线定义$\abs{AE}=\abs{AF}$,得出A点横坐标2，再不妨取$A(2,2\sqrt{2})$,得出直线AB方程，求出点B坐标，得出$\abs{BF}$.

方法二，由问题3.2的结论得出$\frac{\abs{FO}}{\abs{AE}}=\frac{\abs{FB}}{\abs{BA}}$,得出$\abs{BF}=\frac{3}{2}$.
方法三，利用极坐标下的圆锥曲线统一方程.见楼下连接的13题.