证$7x^2+7y^2-2xy+54x+6y+63=0$的轨迹为椭圆

isee

源自知乎提问：二次曲线$\varGamma$：$7x^2+7y^2-2xy+54x+6y+63=0$所决定的轨迹为椭圆.



这本质上一般二次曲线的化简与分类，查阅或《线性代数》，或《高等几何》，或《解析几何》等教材相关章节即可.

不过题主的话题（标签）里没提到高等数学，估计出发点是以高中数学为主，而且从题主中的提示来看数据还比较好看，就从具体"化一化"——以椭圆第一定义实现——并求出其中心，焦点坐标.



先进行一个代数变换，目标是消去方程中的一次项 $x,\ y.$

令 $x=x'-m,\ y=y'-n$ （按朴素的思想这是将图象进行了平移，只是字母多了一个 $'$ ）于是

$$7(x'-m)^2-2(x'-m)(y'-n)+7(y'-n)^2+54(x'-m)+6(y'-n)+63=0,$$

展开后令 $x',\ y'$ 项的系数为零：$-14m+2n+54=0,\ 2m-14n+6=0,$ 从而 $m=4,\ n=1,$

则曲线方程改写为： $$7x'^2-2x'y'+7y'^2=48.$$

考察 $\sqrt {(x'-p)^2+(y'-q)^2}+\sqrt {(x'+p)^2+(y'+q)^2}=2a,$ 移项平方去掉根号，

化简即 $$(a^2-p^2)x'^2-2pqx'y'+(a^2-q^2)y'^2=a^2(a^2-p^2-q^2),$$

与 $7x'^2-2x'y'+7y'^2=48$ 对照即有

$\frac{a^2-p^2}{7}=\frac{pq}{1}=\frac{a^2-q^2}{7}=\frac{a^2(a^2-p^2-q^2)}{48},$

有 $p^2=q^2,$ 再消 $a^2,$ 有 $p^2q^2-49pq+48=0,$ 此方程显然存在解 $(p,q,a^2)=(1,1,8)$ ，于是此曲线的轨迹是椭圆.

此时 $7x'^2-2x'y'+7y'^2=48$ 的中心为 $(0,0),$ 焦点坐标为 $(1,1), \ (-1,-1),$ 长半轴长 $2\sqrt 2.$

于是依最初的变换 $x=x'-4,\ y=y'-1,$ 原椭圆的中心为 $(-4,-1),$ 焦点坐标为 $(-3,0), \ (-5,-2),$ 长半轴长 $2\sqrt 2.$



此法的好处是不需要处理平移公式，需要消去一项式，零起点，入手易.

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其代数的变换的几何意义：移轴
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坐标轴的方向和长度单位不改变，只改变原点的位置，这种坐标系的变换叫坐标轴的平移，简称移轴.

设在原坐标系 $xOy$ 下点 $O'(h,k),$ 点 $M(x,y).$ 将坐标系按向量 $\overrightarrow {OO'}=(h,k)$ 平移，即将点 $O$ 平移到点 $O'$ 处，如图.





设在新坐标系 $x'O'y'$ 下，点 $M(x',y'),$ 则 $\overrightarrow{O'M}=(x',y').$

设在原坐标系 $xOy$ 下，点 $M(x,y),$ 则 $\overrightarrow{O'M}=\overrightarrow{OO'}-\overrightarrow{OM}=(h,k)-(x,y)=(h-x,k-y).$

向量 $\overrightarrow {O'M}$ 不因坐标原点的改变而改变，即 $\overrightarrow {O'M}$ 始终不变（如果不理解，把坐标轴定下来，将向量平移），亦即有 $\color{red}{(x',y')=(h-x,k-y)},$ 所以

$$\left\{\begin{aligned} x&=x'+h,\\y&=y'+k, \end{aligned}\right.$$

这就是坐标系平移公式，强调一下，其中 $(h,k)$ 是点 $O'$ 在原坐标 $xOy$ 下的坐标.

如此一来，将最开始的代数变换里置 $h=-m=-4,$ $k=-n=-1,$ 这就说将 $O'(-4,-1)$ 为新的坐标系原点，即进行了一个移轴.

这样就具有几何意义，更进了一步.

总之：

移轴是为了将新坐标系的原点建立在椭圆的中心，代数式中的变化就是将 $f=Ax^2+2Bxy+Cy^2+2Dx+2Ey+F$ 可以化为 $f=Ax^2+2Bxy+Cy^2+F'.$
移轴后的坐标原点就是椭圆的中心——求椭圆中心的一种方法.
如果再绕新的坐标原点进旋转可以将一般二次曲线化简为标准方程，如这里的椭圆.

kuing

直接配方成 `8 ((x + 3)^2 + y^2) = (x + y - 3)^2` 呗，开荒就是 `\sqrt{(x + 3)^2 + y^2}=\frac12\cdot\frac{\abs{x+y-3}}{\sqrt2}`，所以是椭圆。

kuing

回复 2# kuing

这个配方是不难的，由原式前三项 `7x^2+7y^2-2xy` 就已经知道旋转 `45\du` 就放正了，那么准线一定是 `x\pm y+C=0` 的形式，于是对原方程减去 `k(x\pm y+C)^2`，如果 `\pm` 取 + ，要没交叉项，得取 `k=-1`，此时 `7x^2+7y^2-2xy+54x+6y+63+(x+y+C)^2=8x^2+8y^2+2(27+C)x+2(3+C)y+63+C^2`，它得能配成 `8((x-p)^2+(y-q)^2)`，那就需要 `(27+C)^2+(3+C)^2=8(63+C^2)`，解得 `C=-3` 或 `C=13`，这就是两条准线，这样就不用再试 `\pm` 取 - 的了。

player1703

平移求椭圆中心那一步可以对二次型"配方"得出一个一般公式.
设$\bm A$为对称矩阵, 则:
\begin{equation*}
(\bm x-\bm\mu)^\text{T}\bm A (\bm x-\bm\mu) =\bm x^\text{T}\bm A\bm x-2(\bm A\bm \mu)^\text{T}\bm x + \bm\mu^\text{T}\bm A\bm \mu
\end{equation*}
从而当$\bm A$可逆时:
\begin{equation*}
\bm x^\text{T}\bm A\bm x+\bm b^\text{T}\bm x=\bm x^\text{T}\bm A\bm x-2(-\frac{1}{2}\bm A\bm A^{-1}\bm b)^\text{T}\bm x = (\bm x-\bm\mu)^\text{T}\bm A (\bm x-\bm\mu)-\bm\mu^\text{T}\bm A\bm \mu
\end{equation*}
其中$\bm \mu=-\frac{1}{2}\bm A^{-1}\bm b$ (注意到这是二次函数$ax^2+bx+c$顶点$x$坐标$-\frac{b}{2a}$对多维二次型的推广).
原题中$\bm A = \begin{bmatrix}7 & -1 \\ -1 & 7\end{bmatrix}$, $\bm b = \begin{bmatrix} 54 \\6\end{bmatrix}$ 所以 $\bm \mu = -\frac{1}{2}\bm A^{-1}\bm b = \begin{bmatrix}-4\\-1\end{bmatrix}$, $\bm \mu^\text{T}\bm A\bm\mu = 111$. 所以方程化简为$7x'^2-2x'y'+7y'2 - 111 +63 = 0$ 或 $7x'^2-2x'y'+7y'^2 = 48$, 其中$\begin{bmatrix}x' \\ y'\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}x \\ y\end{bmatrix} - \begin{bmatrix}-4 \\ -1\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}x + 4\\ y + 1\end{bmatrix}$.
然后再用 这里#15正交变换化二次型为标准型求出焦点再把坐标变回去即可.
知乎下面有回复说偏导数等于$0$就是中心其实根据上面的配方法就很好理解了因为二次型$\bm x^\text{T}\bm A \bm x$"求导"(其实是求梯度)就是$2\bm A\bm x$ (把二次型写成$\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^na_{ij}x_ix_j$再对$x_1,x_2,\dots,x_n$分别求偏导数容易验证. 这也是二次函数$ax^2$导数为$2ax$对二次型的推广). 所以$(\bm x-\bm\mu)^\text{T}\bm A (\bm x-\bm\mu)$梯度是$2\bm A(\bm x - \bm\mu)$. 当$\bm A$可逆时$2\bm A(\bm x - \bm\mu) = \bm 0$ 解出 $\bm x = \bm \mu$.

战巡

圆锥曲线统一方程是有统一判别式的

比如圆锥曲线：
\[Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey+F=0\]
那么当$B^2-4AC<0$时，它即为椭圆（或正圆），或椭圆退化物（一个点），或虚椭圆
当$B^2-4AC=0$时，它为抛物线，或抛物线退化物（直线），或虚直线
当$B^2-4AC>0$时，它为双曲线，或双曲线退化物（两条渐近线）