一道组合系数递推数列

kuing

设数列 `\an` 满足 `a_0=1` 且当 `n\geqslant 2` 时恒有
\[a_n=\sum_{k=0}^nC_n^ka_k,\]
求证：`a_{2n+1}=0`（`n\inN^+`）。

战巡

观察
\[a_0+2a_1=0\]
\[a_0+3a_1+3a_2=0\]
\[a_0+4a_1+6a_2+4a_3=0\]
\[a_0+5a_1+10a_2+10a_3+5a_4=0\]
\[a_0+6a_1+15a_2+20a_3+15a_4+6a_5=0\]

考虑矩阵
\[A_n=\begin{pmatrix}C_2^0& C_2^1& 0 &0 &... &0&0&0\\C_3^0&C_3^1&C_3^2&0&...&0&0&0\\C_4^0&C_4^1&C_4^2&C_4^3&...&0&0&0\\...&...&...&...&...&...&...&...\\C_{n-2}^0&C_{n-2}^1&C_{n-2}^2&C_{n-2}^3&...&C_{n-2}^{n-4}&C_{n-2}^{n-3}&0\\C_{n-1}^0&C_{n-1}^1&C_{n-1}^2 &C_{n-1}^3&...&C_{n-1}^{n-4}& C_{n-1}^{n-3} &C_{n-1}^{n-2}\\C_n^0&C_n^1&C_n^2&C_n^3&...&C_n^{n-4}&C_{n}^{n-3}& C_n^{n-2}\end{pmatrix}\]

上面这个问题等价于证明$|A_{2n}|=0$，或者说，$A_{2n}$的最后一行，可以由前面$2n-1$行线性表出

这个一时半会也没有啥好办法
不过倒是可以看出，整个结论跟$a_0$的值没有关系


###############
参考en.wikipedia.org/wiki/Bernoulli_number

进一步研究发现，在$a_0=1$时，其实这玩意就是伯努利数$B_n^-$
其有母函数
\[\frac{t}{e^t-1}+\frac{t}{2}=\frac{t}{2}\coth(\frac{t}{2})=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{B_n^- t^n}{n!}\]
注意左边这个是偶函数，于是其展开式中奇次项都为$0$

另一方面，$n\ge2$时，其实也会有
\[B^-_n=\frac{|A_{n-1}|}{(n+1)!}\]

睡神

经计算：$a_1=-\dfrac{1}{2}a_0,a_2=\dfrac{1}{6}a_0,a_3=0,a_4=-\dfrac{1}{30}a_0,a_5=0,a_6=\dfrac{1}{42}a_0,a_7=-\dfrac{5}{48}a_0\ne 0$

不知道有没算错数

Czhang271828

这种题目肯定有背景, 其特点是 (1) 二项式展开递推, (2) 隔两项为 0 但首项不确定. 因此十有八九是 Bell-number 类型的问题. 推导过 Bell 数等价定义的朋友肯定知道, 这类看着初等的问题是很浪费人时间的, 且在不介绍背景的前提下毫无教学意义.

于是按照三楼的公式, 检索得 oeis.org/A051717 (EXAMPLE -> Bernoulli numbers).

亦可參考此文之圖九 (Bernoulli 数が書枯れた表).