求一个由组合数构成的行列式

abababa

行列式如下：
\[
\begin{vmatrix}
\binom{n+m}{n} & \binom{n+m}{n+1} & \binom{n+m}{n+2} & \cdots & \binom{n+m}{n+k-1}\\
\binom{n+m}{n-1} & \binom{n+m}{n} & \binom{n+m}{n+1} & \cdots & \binom{n+m}{n+k-2}\\
\vdots & \vdots & \vdots & \cdots & \vdots\\
\binom{n+m}{n-k+2} & \binom{n+m}{n-k+3} & \binom{n+m}{n-k+4} & \cdots & \binom{n+m}{n-1}\\
\binom{n+m}{n-k+1} & \binom{n+m}{n-k+2} & \binom{n+m}{n-k+3} & \cdots & \binom{n+m}{n}
\end{vmatrix}
\]

这是什么著名的行列式吗？请教具体要怎么算？

hbghlyj

托普利兹矩阵 (Toeplitz Matrix)：矩阵中每条自左上至右下的斜线上的元素都相等。在您的矩阵中，主对角线上的元素都是 $\binom{n+m}{n}$，次对角线上的元素都是 $\binom{n+m}{n+1}$ 或 $\binom{n+m}{n-1}$，以此类推。

hbghlyj

LGV引理将行列式的值与一个有向无环图中的“不相交路径系统”的数量联系起来。
考虑一个二维整数格点图，其中移动的规则是只能向右(x,y)→(x+1,y)或向上(x,y)→(x,y+1)。从点 $(x_1, y_1)$ 到 $(x_2, y_2)$ 的路径数量为 $\binom{(x_2-x_1)+(y_2-y_1)}{x_2-x_1}$。
我们需要巧妙地设置一组起点 $U = \{u_1, u_2, \ldots, u_k\}$ 和一组终点 $V = \{v_1, v_2, \ldots, v_k\}$，使得从 $u_i$ 到 $v_j$ 的路径数量正好是您矩阵中的元素 $A_{ij} = \binom{n+m}{n-i+j}$。有多种选择，其中一种是：

• 起点：$u_i = (i-1, -(i-1))$ for $i = 1, \dots, k$.
• 终点：$v_j = (n+j-1, m-j+1)$ for $j = 1, \dots, k$.

我们来验证一下从 $u_i$ 到 $v_j$ 的路径数：

• 水平位移 $\Delta x = (n+j-1) - (i-1) = n+j-i$.
• 竖直位移 $\Delta y = (m-j+1) - (-(i-1)) = m-j+i$.
• 路径总数 = $\binom{\Delta x + \Delta y}{\Delta x} = \binom{(n+j-i)+(m-j+i)}{n+j-i} = \binom{n+m}{n-i+j}$.

这正好是矩阵的 $(i,j)$ 元！
LGV引理指出，您给出的行列式的值等于从起点集 $U$ 到终点集 $V$ 的不相交路径系统的数量（带一个符号，但在此几何构造下符号为+1）。一个不相交路径系统指的是一组路径 $(P_1, P_2, \ldots, P_k)$，其中 $P_i$ 是从 $u_i$ 到 $v_i$ 的路径，且任意两条路径 $P_i$ 和 $P_j$ ($i \neq j$) 没有任何公共顶点。

hbghlyj

\[
\det_{1\le i,j\le k}\binom {n+m}{n-i+j} = \prod_{i=1}^{k} \prod_{j=1}^{m} \frac{n+i+j-1}{i+j-1}
\]
可以进一步写成一堆二项式系数的乘积和商，但这个形式也许是最紧凑的。
$k=2$ 的情况。
\begin{align*}
D_2 &= \left(\prod_{j=1}^{m} \frac{n+1+j-1}{1+j-1}\right) \cdot \left(\prod_{j=1}^{m} \frac{n+2+j-1}{2+j-1}\right) \\
&= \left(\prod_{j=1}^{m} \frac{n+j}{j}\right) \cdot \left(\prod_{j=1}^{m} \frac{n+j+1}{j+1}\right) \\
&= \left(\frac{n+1}{1} \cdot \frac{n+2}{2} \cdots \frac{n+m}{m}\right) \cdot \left(\frac{n+2}{2} \cdot \frac{n+3}{3} \cdots \frac{n+m+1}{m+1}\right) \\
&= \frac{(n+m)!/n!}{m!} \cdot \frac{(n+m+1)!/(n+1)!}{(m+1)!/1!} \\
&= \binom{n+m}{n} \cdot \binom{n+m+1}{n+1}
\end{align*}

abababa

hbghlyj 发表于 2025-6-22 07:31
page 89
Example. Consider
\[

用具体数值验证后，$=\frac{i+j+k-1}{i+j+k-2}$那个应该是对的。具体地怎么算出来的呢？

hbghlyj

Advanced Determinant Calculus(1.2)
page 8:\begin{align*}
\det_{1\le i,j\le n}&\binom {a+b}{a-i+j}=
\prod _{i=1} ^{n}\frac {(a+b)!} {(a-i+n)!\,(b+i-1)!}\\
&\hskip2cm
\times
\det_{1\le i,j\le n}\big((a-i+n)(a-i+n-1)\cdots(a-i+j+1)\\
&\hskip4cm
\cdot(b+i-j+1)(b+i-j+2)\cdots(b+i-1)\big)\\
&\quad =(-1)^{\binom n2}\prod _{i=1} ^{n}\frac {(a+b)!}
{(a-i+n)!\,(b+i-1)!}\\
&\hskip2cm
\times
\det_{1\le i,j\le n}\big((i-a-n)(i-a-n+1)\cdots(i-a-j-1)\\
&\hskip4cm
\cdot(i+b-j+1)(i+b-j+2)\cdots(i+b-1)\big).
\end{align*}

abababa

hbghlyj 发表于 2025-6-22 12:04
Advanced Determinant Calculus(1.2)
page 8:\begin{align*}
\det_{1\le i,j\le n}&\binom {a+b}{a-i+j}=

这就导出那个三乘积了吗？

abababa

网友得到的结果是
\[\det(M)=\prod_{s=0}^{k-1}\frac{\binom{n+m+s}{n}}{\binom{n+s}{n}}\]

这个是怎么得来的他没说，只说让我尝试用范德蒙行列式，但我弄了一阵子还是没弄出来。但是这个结果和那个三乘积的是相等的，这个我推出来了：
设$L(m,n,k)=\prod_{a=1}^{n}\prod_{b=1}^{m}\prod_{c=1}^{k}\frac{a+b+c-1}{a+b+c-2}$，由于
\[
\prod_{c=1}^{k}\frac{a+b+c-1}{a+b+c-2}
=\frac{a+b}{a+b-1}\cdot\frac{a+b+1}{a+b}\cdots\frac{a+b+k-1}{a+b+k-2}
=\frac{a+b+k-1}{a+b-1}
\]

所以
\[
L(m,n,k)
=\prod_{a=1}^{n}\prod_{b=1}^{m}\frac{a+b+k-1}{a+b-1}
=\prod_{b=1}^{m}\frac{\prod_{a=1}^{n}(a+b+k-1)}{\prod_{a=1}^{n}(a+b-1)}
=\prod_{s=0}^{m-1}\frac{\prod_{a=1}^{n}(a+k+s)}{\prod_{a=1}^{n}(a+s)}
\]

因为
\[
\prod_{a=1}^{n}(a+s)=\frac{(n+s)!}{s!}
\qquad\qquad
\prod_{a=1}^{n}(a+k+s)=\frac{(n+k+s)!}{(k+s)!}
\]

所以
\[
L(m,n,k)
=\prod_{s=0}^{m-1}\frac{\frac{(n+k+s)!}{(k+s)!}}{\frac{(n+s)!}{s!}}
=\prod_{s=0}^{m-1}\frac{(n+k+s)!}{(k+s)!} \cdot \frac{s!}{(n+s)!}
=\prod_{s=0}^{k-1}\frac{(n+m+s)!}{(m+s)!} \cdot \frac{s!}{(n+s)!}
\]

右边就是网友得到的那个结果。

hbghlyj

gr.inc/question/a-technique-for-evaluating-de … densation-method-wh/
page 89
Example. Consider
\[
M_n(b, c):=\det_{1 \leq i, j \leq n}\left(\binom{b+c}{b-i+j}\right) \stackrel{?}{=} \prod_{i=1}^n \prod_{j=1}^b \prod_{k=1}^c \frac{i+j+k-1}{i+j+k-2}
\]
Then we have
\[
\begin{aligned}
\left(M_n(b, c)\right)_n^n & =M_{n-1}(b, c) \\
\left(M_n(b, c)\right)_1^1 & =M_{n-1}(b, c) \\
\left(M_n(b, c)\right)_n^1 & =M_{n-1}(b+1, c-1) \\
\left(M_n(b, c)\right)_1^n & =M_{n-1}(b-1, c+1) \\
\left(M_n(b, c)\right)_{1, n}^{1, n} & =M_{n-2}(b, c)
\end{aligned}
\]

abababa

原来这个这么麻烦。网友的解答如图：