一个函数极值点的等价定理证明

hjfmhh

定理：（i）若 $x_0 \in[a, b]$，$f'(x_0)=0$ 且 $f''(x_0)<0$，则 $y=f(x)$ 在 $x_0$ 处取得极大值
（ii）若 $x_0 \in[a, b]$，$f'(x_0)=0$ 且 $f''(x_0)>0$，则 $y=f(x)$ 在 $x_0$ 处取得极小值
逆定理（i）若 $y=f(x)$ 在 $x_0$ 处取得极大值，则 $f'(x_0)=0$ 且 $f''(x_0)<0$
（ii）若 $y=f(x)$ 在 $x_0$ 处取得极小值，则 $f'(x_0)=0$ 且 $f''(x_0)>0$
这两个定理怎么证明？是不是对于可导函数两个定理都成立？

老司機

没有逆定理的，反例如y=x^4

hjfmhh

老司機 发表于 2025-7-19 11:56
没有逆定理的，反例如y=x^4

满足什么条件逆定理也成立。这两个定理怎么证明？

老司機

hjfmhh 发表于 2025-7-19 21:48
满足什么条件逆定理也成立。这两个定理怎么证明？

规定$f''(x_0)\ne0$就行了

战巡

感觉你需要回本科去补高数啊...

高阶导数检验：

令$f(x)$为实函数，且高阶可导，$c$为其定义域内一点，令$n\ge 1$为自然数，如果存在$n$使得
\[f'(c)=f''(c)=...=f^{(n)}(c)=0,\mbox{且}f^{(n+1)}(c)\ne 0\]
则：
1、
当$n+1$为偶数
若$f^{(n+1)}(c)<0$，则$c$为极大值
若$f^{(n+1)}(c)>0$，则$c$为极小值

2、
当$n+1$为奇数
若$f^{(n+1)}(c)<0$，则$c$为由凹转凸的拐点
若$f^{(n+1)}(c)>0$，则$c$为由凸转凹的拐点

hbghlyj

和上次这道 forum.php?mod=viewthread&tid=5504 有点像

hbghlyj

如果 $\forall n\ge 1,f^{(n)}(c)=0$，例如光滑函数$f(x)=\begin{cases}e^{-1/x^2}&x\ne0\\0&x=0\end{cases}$
则高阶导数检验无法判断极值。然而，$\forall x\ne0,f(x)>0$，因此 0 是极小值。
en.wikipedia.org/wiki/Flat_function
en.wikipedia.org/wiki/Non-analytic_smooth_function
forum.php?mod=viewthread&tid=9237

hjfmhh

战巡 发表于 2025-7-20 00:14
感觉你需要回本科去补高数啊...

高阶导数检验：

极值第二充分条件：若 $x_0 \in[a, b] \Rightarrow f'(x_0)=0$，且 $f''(x_0) \neq 0$，则若 $f''(x_0)<0$，则 $y=f(x)$ 在 $x_0$ 处取得极大值；若 $f''(x_0)>0$，则 $y=f(x)$ 在 $x_0$ 处取得极小值．

例 1．（2021 年乙卷第 10 题）设 $a \neq 0$，若 $x=a$ 为函数 $f(x)=a(x-a)^2(x-b)$ 的极大值点，则（ ）
A．$a<b$
B．$a>b$
C．$a b<a^2$
D．$a b>a^2$
分析 2：第二充分条件
依题，$f'(x)=2 a(x-a)(x-b)+a(x-a)^2$ 再次求导
\[
f''(x)=2 a(x-b)+4 a(x-a)
\]
由于 $x=a$ 为极大值点，故 $f''(a)<0$，代入上式可得：$a b>a^2$，故选 D．
例 2．（2025 年教育部八省联考）已知函数 $f(x)=a \ln x+\frac{b}{x}-x$．
（2）若 $x=1$ 是 $f(x)$ 的极小值点，求 $b$ 的取值范围．
（方法 2．极值第二充分条件）
由于 $f'(x)=-\frac{x^2-(b+1) x+b}{x^2}$，故 $f''(x)=\frac{-(b+1) x+2 b}{x^3}$，那么由于 $x=1$ 是 $f(x)$ 的极小值点，故需满足 $f''(1)=b-1>0$，故 $b$ 的取值范围为 $(1,+\infty)$．

例 3．（2023 年新高考 2 卷）（2）已知函数 $f(x)=\cos a x-\ln (1-x^2)$，若 $x=0$ 为 $f(x)$ 的极大值点，求 $a$ 的取值范围．

已知极值点的问题都可以用极值第二充分条件解决，既然是充分条件，为什么求出的a正好是全部取值？能帮忙解释一下吗？谢谢

hjfmhh

hbghlyj 发表于 2025-7-20 22:03
因为也可以应用该条件推断 $a\le b$ 的情况不满足极大值

不明白你的意思，能写写吗？

hjfmhh

战巡 发表于 2025-7-20 00:14
感觉你需要回本科去补高数啊...

高阶导数检验：

学习了战巡老师写的，不知道这样理解对否？

hjfmhh

hbghlyj 发表于 2025-7-20 23:48
例1每种情况都可以应用该条件，所以求出的a是全部取值

例2，例3是什么原因呢？能写写吗？谢谢

hbghlyj

hjfmhh wrote at 2025-7-20 10:49
例2，例3是什么原因呢？能写写吗？谢谢

例2
判断 $x=1$ 是否为 $f(x) = (b+1) \ln x + \frac{b}{x} - x$ 极小值点，需计算二阶导数：  
\[f''(x) = -\frac{b+1}{x^2} + \frac{2b}{x^3}\]
在 $x=1$ 处：  
\[f''(1) = -(b+1) + 2b = b - 1\]

• 若 $b - 1 > 0$，此时 2 为偶数，且 $f^{(2)}(1) > 0$，根据极值充分条件，$x=1$ 为极小值点。
• 若 $b - 1 < 0$，则 $f''(1) < 0$，$x=1$ 为极大值点。
• 若 $b - 1 = 0$，则 $f''(1)=0$，$f^{(3)}(1) = -2$，此时 3 为奇数，故 $x=1$ 为拐点。

hbghlyj

例3
$f(x) = \cos a x - \ln (1 - x^2)$，$f'(0) = 0$，$f''(0) = -a^2 + 2$.

• 若 $a^2 > 2$，则 $f''(0) < 0$，$x = 0$ 为极大值点。
• 若 $a^2 < 2$，则 $f''(0) > 0$，$x = 0$ 为极小值点。
• 若 $a^2 = 2$，则 $f''(0) = 0$，$f'''(0) = 0$，$f^{(4)}(0)=16 > 0$，此时 4 为偶数，故 $x = 0$ 为极小值点。

hjfmhh

hbghlyj 发表于 2025-7-21 08:48
例3
$f(x) = \cos a x - \ln (1 - x^2)$，$f'(0) = 0$，$f''(0) = -a^2 + 2$.
[*]若 $a^2 > 2$，则 $f''(0) ...

非常感谢老师