来自人教群的平几，又是求角度

kuing

又是这种求角度题，我又懒得想平几方法了，果断上三角法先。

连结 $BF$，易得 $\angle FAB=\angle FBA=10\du$, $\angle FAC=30\du$, $\angle FBC=70\du$, $\angle ACB=60\du$，则由正弦定理得
\[\frac{\sin \angle BCF}{\sin 70\du}=\frac{\sin \angle BCF}{\sin \angle CBF}=\frac{FB}{FC}=\frac{FA}{FC}=\frac{\sin \angle ACF}{\sin \angle CAF}=\frac{\sin (60\du-\angle BCF)}{\sin 30\du},\]
所以
\[\sin \angle BCF=2\cos20\du\sin (60\du-\angle BCF),\]
显然 $\angle BCF<60\du$，故上式左边关于 $\angle BCF$ 递增，而右边则递减，因此上式在 $(0,60\du)$ 内最多只有一解，又显然 $\angle BCF=40\du$ 时满足上式，所以唯一解就是 $\angle BCF=40\du$。


好了，轮到你们平几大牛们弄个纯平几方法来……

其妙

isee，乌贼等，上！

kuing

回复 2# 其妙

最近好像不太见着 isee 啊

kuing

同一法也可以做，首先如图，梯形 $ABCD$ 中，$AB\px CD$, $BC=CD=DA$, $\angle ABC=80\du$，以 $CD$ 为边向内作等边 $\triangle XCD$，那么容易计算出 $X$ 在梯形内且 $\angle XAB=\angle XBA=10\du$。



回到原题，作 $C$ 关于 $EF$ 的对称点 $C'$，作如图所示的辅助线。



由于显然此时整个图形关于 $EF$ 对称，所以必然有 $\angle FBC'=\angle FAC=30\du$，得 $\angle CBC'=40\du$，所以 $BC'$ 为 $\angle ABC$ 的角平分线，而 $A$, $B$, $C$, $C'$ 显然四点共圆，因此有 $C'A=C'C$，由此可见，此时的梯形 $ABCC'$ 与前面图中的梯形的形状是一致的，那么，若以 $CC'$ 为边向内作等边 $\triangle XCC'$，亦将有 $X$ 在梯形内且 $\angle XAB=\angle XBA=10\du$，这必然使得 $X$ 与 $F$ 重合，所以 $\triangle FCC'$ 为等边三角形，易得 $\angle BCF=40\du$。

kuing

回复 2# 其妙

我看到 乌贼 了，估计等会就有回贴了……

乌贼

如图，以$AB$为边向下作等边$\triangle ABG$，在$DC$上取点$H$使$BD=DH$，连接$HG、FG、FB、FH$，有$\angle BFD=20^\circ,\angle FBD=70^\circ,\triangle FDB\cong\triangle FDH\riff\angle FGC=\angle FHB=70^\circ$，$\triangle ADB\cong\triangle ADH\riff AH=AB=AG,\angle HAC=\angle GAC=20^\circ\riff\angle AGH=70^\circ$及$\triangle AHC\cong\triangle AGC\riff\angle AGC=\angle AHC=100^\circ\riff\angle HGC=30^\circ,\angle FGC=70^\circ$，又$\angle FHD=70^\circ$，故$F、G、C、H$四点共圆，有$\angle CFH=\angle HGC=30^\circ\riff\angle FCB=40^\circ$。

乌贼

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下载后还是不行

kuing

果然来了
你以前不是可以传的咩？电脑换了？

乌贼

回复 8# kuing
没换啊

kuing

回复 9# 乌贼

呃，那你电脑里有些啥工具啊，像电脑管家之类的东西可以修复一下……

kuing

回复 9# 乌贼

你现在QQ多少，搞不定的话加群吧（ 11071642 ），发群里我再帮你发上来。

乌贼

回复9,10楼，谢谢，刚看到，现在可以了，是少装了一附件，已安装

kuing

回复 12# 乌贼

看到了，也总算看懂了那个“易证”，证得不错
建议还是将“易证”具体写写……