|
|
v6(2646*****) 2023/2/20 17:25:24
令 `2^x=t` 以及 `f(t)=\abs{t^2-a}+2\abs{t-a}`，问题变成：当 `t\in(0,+\infty)` 时 `f(t)_{\min}=4`，求 `a`。
（1）若 `a\leqslant0`，则 `f(t)=t^2+2t-3a` 显然递增不存在最小值，不符合；
（2）若 `0<a<2`，则 `f(1)=3\abs{1-a}<3`，不符合；
（3）若 `2\leqslant a<4`，则 `f(2)=4-a+2(a-2)=a<4`，不符合；
（4）若 `a\geqslant4`，对于 `t\geqslant2` 有
\begin{align*}
f(t)&=\abs{t^2-a}+2\abs{t-a}\\
&\geqslant\abs{t^2-a-2(t-a)}\\
&=\abs{t(t-2)+a}\\
&\geqslant a,
\end{align*}
对于 `0<t<2` 有
\[f(t)=a-t^2+2(a-t)>3a-8\geqslant a,\]
所以恒有 `f(t)\geqslant a`，因此当 `a>4` 时肯定不符合，而当 `a=4` 时就有 `f(t)\geqslant4` 并且 `f(2)=4`，即 `f(t)_{\min}=4`。
综上所述，只有 `a=4` 符合题意。 |
|
isee
发表于 2023-2-21 09:24
