顶角为20度的等腰三角形常见结论——都不会？正常

isee

这些玩意，中高考不考，竞赛考，也是翻新加花的。

茶余饭后八封八封还是有意思的，介绍性的，给大家，个个经典，非常的难。

所以，第一次见，不会，特别的正常；真的会解后，有无数后不同的解法。

以下解法，为个人随笔，如果与xx相同，纯是偶然，故绝对不是最简的解法，

只是，将这些结论串在一起，方便些。

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这里，特别感谢几年前在人教论坛的 longnetpro，还有李伟源老师。



历史上最为经典（本题老论坛有类十种方法，如果你有兴趣的话……）



题1  $\triangle ABC$中，$AB=AC,\angle A=20^\circ$，$D,E$分别在$AB,AC$上，$\angle DCB=50^\circ,\angle EBC=60^\circ$。
求 $\angle BED$的度数。





如图，提示：D，G，B，F共四圆后，得到D，F，C，E四点共圆，从而$\angle BED=30^\circ$。

这里，容易得到$\angle BDF=10^\circ$，从而$BF\perp BC$。

这样得一新题：如图，$\triangle BDC$中$BD=BC,\angle DBC=80^\circ,\angle CBF=60^\circ,\angle BCF=20^\circ$。
求证：$BF\perp BC$。

isee

将50，60度各加10度，变成60，70度

题2  $\triangle ABC$中，$AB=AC,\angle A=20^\circ$，$D,E$分别在$AB,AC$上，$\angle DCB=60^\circ,\angle EBC=70^\circ$。
求 $\angle BED$的度数。





保留上图的中50度，即图中的D'点，此时容易证明$\triangle AEB \cong \triangle BCG$，
从而$\triangle BEG$为顶角为80度等腰的三角形，
进一步，$\angle EGD'=20^\circ=\angle EAD'$，即E,A,G,D'四点共圆，同时也有：AE=DE'=BC。
于是$\angle DD'E=20^\circ=\angle DCE$，即E,D,D',C四点共圆。

需求最后结果，到这里后，说法较多，如ED'为角BED的平分线等，$\angle BED=20^\circ$。


新题：如图，$\triangle ABC$中，$AB=AC,\angle A=20^\circ$，$E$在$AC$上，$AE=BC$。
求 $\angle BEC$的度数。

当然，将E点改成D点，就更像考试题了。而事实上，这题被广大中学老师普遍赞的好题，李伟源老师将这个题先后给了十四余种方法。

如果你已经找到了本论坛楼上的提的帖子，估计，你已经看到了几种精彩对称的解法吧。



再看一个全新的变式


如图，记圆EDC与AE的交点为F，则$\angle ADF=10^\circ \Rightarrow DF \perp BC$！

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将楼上那个垂直，重新写出来就是：

1998年加拿大数学奥林匹克，第4题，总共5题

在$\triangle ABC$中,$\angle BAC=40^\circ,\angle ABC=60^\circ$。
$D$和$E$分别是边$AC$和$AB$上的点，使得$\angle CBD=40^\circ,\angle BCE=70^\circ$。
$F$是直线$BD$和$CE$的交点。
证明直线$AF$和直线$BC$垂直。

isee

回到3楼，在上述证明过程中已经解决，就是将仅将60度改为70度，50度不变：

题3 $\triangle ABC$中，$AB=AC,\angle A=20^\circ$，$D,E$分别在$AB,AC$上，$\angle DCB=50^\circ,\angle EBC=70^\circ$。
求 $\angle BED$的度数。

理论上说，相对而言，难度稍小些，有很多特殊的证明，这里略去。

OK，集合完毕，以后可以直接把链接帖过去了，哈哈~

isee

欢迎补充，顶角20度的题

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题1的BCED四边中的，CEDF四点共圆，这一部分，
想起了一个十分经典的变式（其实结构依然相同），
主要是想了好久，老论坛 这道求角度的题人教初中区应该有链接，谁找找

如图，四边形$ABCD $的对角线交于$E$，
$\angle BEC=72^\circ$，$\angle ABD=18^\circ$，$\angle ACD=30^\circ$，且$BE=CE$，求$\angle ADB$ 的度数.

踏歌而来

这个求角度有趣，喝一声彩！
要画圆、要旋转，才能有解，真是好玩。

另外，上楼的图形，怎么没有贴好？

isee

或者可谓铺垫吧。

踏歌而来

太好玩了，这么多啊！

青青子衿

回复 1# isee

太好玩了，这么多啊！
踏歌而来 发表于 2014-3-29 22:00

Langley问题&Machado的几何构型
F.A.Q.

isee

此问题大约于可以追溯到1920年前后，首先给出解的是1951年华盛顿大学的汤普森教授，因此后人称此问题为“汤普森问题”（或汤姆森问题或角格点问题)，了解更多可以查阅《几何瑰宝-平面几何500名题暨1000条定理(上)》，沈文选,杨清桃编著，第197页. (其中解法为其解法6，7流传较广.)

真是没有想到，此问题在知乎非常火，近一周天天有人问，图就是人教群中的那个四边形中标角的图，不知为啥。。。。

PS：不过，把顶角去掉了，估计为了节约版面~