任意存在一题 $f(x)=\abs{x^2+bx+c}$

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设函数$f(x)=\abs{x^2+bx+c}$,若对任意的正数b,和实数c，
总存在$x_0\in$[0,1],使得$f(x_0)\ge m$,则实数m的取值范围是________.


高考模拟卷上一题，好吧，我也晕了，猜一个先，b趋向于0,c=－0.5,那么$m\le 0.5$.（我也想不明白为什么这么猜．也不晓得对不对．）
计划想明白了后，主要问题是怎样向老师或学生解释，不同的水平， 都需要个渐进过程吧．

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充分必要分开考虑，先考虑必要性，
假定m>0.5,因为对任意b>0,c都存在$x_0$,
取b无限接近０，c=-0.5,此时$x_0\in$[0,1],$f(x_0)\le 0.5$.即此时不存在$x_0\in$[0,1],有$f(x_0)\ge m$
接下来证明$m\le0.5$都可以，分别令x=0,1得到
$f(0)+f(1)=\abs{c}+\abs{1+b+c}\ge \abs{1+b}>1$
所以f(0),f(1)至少有一个大于等于０.５即存在$x_0=0$或$1$,$f(x_0)\ge m$

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入门：
    １．对任意的$x\in$[0,1],有$2x+1\ge m$成立，求m的取值范围．
    ２．存在$x\in$[0,1],有$2x+1\ge m$成立，求m的取值范围．
    ３．$x\le1$,是不等式$2x-m\le0$的解，求m的能够取到的值的集合．
　
    练习：
    １．对任意的$x\in$[0,1],有$x^2-x\ge m$成立，求m的取值范围．
    ２．存在$x\in$[0,1],有$x^2-x\ge m$成立，求m的取值范围．
    ３．$0\le x\le1$,是不等式$x^2-x\le m$的解，求m的能够取到的值的集合．
　
         类比，我们考虑教室门的高度，对任意的师生（每个人，全部，所有），能够自由进出教室的门，那么门的高度取值范围是什么？只需要找最  高的人．存在某个学生(两个也没问题，一个就足够了)，能进教室？那么找最矮的人，（某一年有特别矮的同学，正好是数学课代表，心里会有些崩溃吧．）
得到解答套路１．$(2x+1)_{min}\ge m$;2.$(2x+1)_{max}\ge m$
进阶: 写什么呢？
各类处理办法？各类难题？理解为多元函数，变换主元？
１楼先考虑b,似乎绝对值内是一次函数，最值只需要考虑两端点，也许猜测是这样来的．

kuing

跟你之前的这帖 kuing.cjhb.site/forum.php?mod=viewthread&tid=3694 像极了

那帖的过程完全可以照套到这里来，唯一的差别就是这题居然把 b 限制为正数，导致最大值只有下确界而取不了最小值。

设 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上的最大值为 $M$，因为它与 $c$, $b$ 有关，所以把它记作 $M(c,b)$ 好些。

存在 $x_0\in[0,1]$ 使 $f(x_0)\geqslant m$ 等价于 $M(c,b)\geqslant m$。

要它对任意的正数 $b$ 和实数 $c$ 恒成立，就是要求出 $M(c,b)$ 的最小值（或下确界），因为
\[2M(c,b)\geqslant f(0)+f(1)=\abs c+\abs{1+b+c}\geqslant\abs{1+b}>1,\]
得到 $M(c,b)>1/2$，容易验证当 $c=-1/2$, $b\to0$ 时 $M(c,b)\to1/2$，所以 $M(c,b)$ 的下确界就是 $1/2$，所以 $m$ 的取值范围就是 $(-\infty,1/2]$。

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《倚天屠龙记》里张三丰现场传太极拳给无忌，
“忘了吗？”
“全忘了”
我大概到这个层次了