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源自知乎提问
题：若三角形 ABC 的内切圆的半径为 r，求三角形周长的最小值.
此解法，包括图，源自
已知边长求内切圆半径
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(出处: 悠闲数学娱乐论坛(第3版))
在三角形 ABC 中，由余切两角和公式易知 \begin{gather*}
\frac 1{\cot\frac C2}=\cot \frac{A+B}2=\frac{\cot\frac A2\cot\frac B2-1}{\cot\frac A2+\cot \frac B2}\\[1ex]
\iff \cot \frac A2+\cot \frac B2+\cot \frac C2=\cot\frac A2\cot\frac B2\cot \frac C2\tag{01}
\end{gather*} 设半周长 \[p=\frac{a+b+c}2,\] 则由三角形的内切圆，如图 1 可得 \[\cot \frac A2=\frac{p-a}r,\;\cot \frac B2=\frac{p-b}r,\;\cot \frac C2=\frac{p-c}r,\tag{02}\]
图 1
将 $(02)$ 式代入 $(01)$ 式，整理即得 \begin{align*}
r^2p&=(p-a)(p-b)(p-c)\tag{*}\\[1ex]
(\small\text{AM-GM})&\leqslant\left(\frac{p-a+p-b+p-c}3\right)^3\\[1ex]
&=\left(\frac{3p-2p}3\right)^3\\[1ex]
&=\frac {p^3}{27}\\[1ex]
\Rightarrow\; p&\geqslant 3\sqrt 3 r\\[1ex]
a+b+c&\geqslant 6\sqrt 3r.
\end{align*} 当且仅当 a=b=c 即为三角形 ABC 为正三角形时，取得等号.
回到题主所问，此时 r=1，即周长的最小值为 $6\sqrt 3,$ 此时三角形为正三角形.
后记：事实上 $(*)$ 两边乘以 p，就是三角形面积的平方 （即之前所写的三角都是多余的). |
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kuing
Posted 2023-1-21 17:50
