固定呈六边形的螺栓

isee

源自知乎提问

题：工人在安装一个正六边形的零件时，需要固定如图 1 所示的六个位置螺栓. 若按一定的顺序将每个螺栓固定紧，但不能连续固定相邻的 2 个螺栓，则不同的固定螺栓方式的种数是_____.

图 1

此题的结果确实是 60 种，没有问题.

分两步完成：第一步：任选一个；第二步：按规定顺序固定完螺栓.

第一步：任一个，共计 6 种，不妨就选图 1 中的 1 号.

第二步：从 1 号开始固定这 6 个螺栓，枚举如下（请结合图，耐心看）：

\begin{gather*}
1-3-5-2-4-6；\tag{01}\\[1ex]
1-3-5-2-6-4；\tag{02}\\[1ex]
1-3-6-4-2-5；\tag{03}\\[1ex]
1-4-2-5-3-6；\tag{04}\\[1ex]
1-4-2-6-3-5；\tag{05}\\[1ex]
1-4-6-2-5-3；\tag{06}\\[1ex]
1-4-6-3-5-2；\tag{07}\\[1ex]
1-5-2-4-6-3；\tag{08}\\[1ex]
1-5-3-6-2-4；\tag{09}\\[1ex]
1-5-3-6-4-2；\tag{10}\\[1ex]

\end{gather*} 共计 10 种固定方式.

由分步计算原理知，固定这些螺栓共有 6*10=60 种.

PS：在第二步固定螺栓抽象出来，大抵为，（还是从1号开始），上加点表示选定固定 \[\dot1-(\dot345)-(\dot56)-\dot2-(\dot46)-\dot6.\] 则可选择的固定的方法总数为 \[1+3+2+1+2+1=10.\]

kuing

链接咋挂了

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又好了


PS、用 tikz 画一下这螺栓：

向下对称得另外五种。

hbghlyj

kuing 发表于 2023-1-21 11:44
链接咋挂了

以防link rot建议外部链接(包括图片、文档)都用 web.archive.org/save 或 archive.ph/ 存档
比如Wikipedia上有一个ArchiveBot自动把Externel Links存档
internetarchivebot
希望我们也有一个ArchiveBot
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isee

kuing 发表于 2023-1-21 18:44
链接咋挂了

PS、用 tikz 画一下这螺栓：

已经采用，真方便

kuing

话说，有没有不枚举的算法哩？假如不止六个点，2n个的话……是否有一般表达式

hbghlyj

kuing 发表于 2023-1-25 09:13
最后那图一直在转圈圈😪

已删。
但是我这边是正常的。
😪的解释: A yellow face with closed eyes, mouth slightly open, and a blue snot bubble(鼻涕泡) coming from its nose.

hbghlyj

$(n-1)!\over2$是$n$个顶点形成的多边形的个数, 此处除以2因为1个cycle对应于2个多边形(两个绕行方向).

${(3-1)!\over2}=1$	3个点只能形成1个三角形.
${(4-1)!\over2}=3$	4个点可以形成 $\large\square\LARGE \bowtie ⧖$这3个四边形.
${(5-1)!\over2}=12$	5个点可以形成12个五边形, 如下图.

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2023-1-25 18:43 上传

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isee

kuing 发表于 2023-1-21 18:44
链接咋挂了

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向下对称,,,我都没想到,,,