怎么配凑非负系数SOS

Canhuang

$\mathbb{R_+}: \frac{3(a^2+b^2+c^2)}{a+b+c}\geqslant \sum \frac{a^2+b^2}{a+b}$
有个大致的过程啥的

hbghlyj

$\LHS-\RHS=\frac1{a+b+c}\sum\left(\frac{1}{2}-\frac{a^2}{(a+b) (a+c)}\right)(b-c)^2$

1. (1/2-a^2/((a+b) (a+c)))(b-c)^2/(a+b+c)-((a^2+b^2+c^2)/(a+b+c)-(a^2+b^2)/(a+b))/.{{},{a->b,b->c,c->a},{b->a,c->b,a->c}}//Total//Factor

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kuing

这题我去年在知乎撸过，恰好就是用 SOS 方法😉，见：
zhihu.com/question/548200393/answer/2624555512

hbghlyj

2#的$\sum\left(\frac{1}{2}-\frac{a^2}{(a+b) (a+c)}\right)(b-c)^2$加上$\sum\frac{(a-b)(a-c)}{(a+b) (a+c)}=0$化为3#的$\sum\frac{bc}{(a+b) (a+c)}(b-c)^2$

O-17

干脆直接全部乘开...
\begin{gather*}
3\left(\prod(a+b)\right)\left(\sum a^2\right)\geqslant\left(\sum a\right)\left(\sum(b+c)(c+a)(a^2+b^2)\right)\\
\Leftrightarrow\sum(a^4c+a^4b)\geqslant\sum(a^3b^2+a^3c^2)\\
\Leftrightarrow\sum ab(a+b)(a-b)^2\geqslant0~~~.\square
\end{gather*}