看似轮换的样子却不是的三元不等式

力工

这题是考人，还是有问题，中间那个括号与两边都不同？
若$a,b,c>0$,证明：$[3(a-b)+\frac{2b^3}{a^2}][2b-\frac{3c}{b}(c-\frac{c^2}{b})][3(c-a)+\frac{2a^3}{c^2}]\geqslant \dfrac{8}{27}(a+b+c)^3$.

力工

谢谢@O-17 ,
应该如何输入ID才有效？晕

kuing

机器说，楼主的不等式成立，楼主怀疑的那个不等式同样也成立

kuing

唉，完全是水货：注意到
\begin{align*}
3(a-b)+\frac{2b^3}{a^2}&=a+a+\frac{b^3}{a^2}-3b+a+\frac{b^3}{a^2}\\
&\geqslant3\sqrt[3]{a\cdot a\cdot\frac{b^3}{a^2}}-3b+\frac{a^3+b^3}{a^2}\\
&=\frac{a^3+b^3}{a^2},
\end{align*}
同理对左边第三项有
\[3(c-a)+\frac{2a^3}{c^2}\geqslant\frac{c^3+a^3}{c^2},\]
至于中间不同那项，也有
\begin{align*}
2b-\frac{3c}b\left(c-\frac{c^2}b\right)&=\frac{c^3}{b^2}+\frac{c^3}{b^2}+b-\frac{3c^2}b+b+\frac{c^3}{b^2}\\
&\geqslant3\sqrt[3]{\frac{c^3}{b^2}\cdot\frac{c^3}{b^2}\cdot b}-\frac{3c^2}b+\frac{b^3+c^3}{b^2}\\
&=\frac{b^3+c^3}{b^2},
\end{align*}
于是三式相乘得
\[\LHS\geqslant\frac{(a^3+b^3)(b^3+c^3)(c^3+a^3)}{a^2b^2c^2},\]
这样就变成了全对称式，而且依然相当弱，随便放缩都不过头：
\[\frac{\prod(a^3+b^3)}{a^2b^2c^2}\geqslant\frac{8\sum a^3\sum a^3b^3}{9a^2b^2c^2}\geqslant\frac83\sum a^3\geqslant\frac8{27}(a+b+c)^3.\]

这就证完了，同时也看出楼主所怀疑的不等式也是成立的。

顺便扯几句感想：
这题的命制方式可能就是从一个简单的对称不等式 `\frac{(a^3+b^3)(b^3+c^3)(c^3+a^3)}{a^2b^2c^2}\geqslant\frac8{27}(a+b+c)^3` 出发，将左边变形为 `\prod\left(a+\frac{b^3}{a^2}\right)`，运用均值添加一些项进去，如果添加方式一致那式子是轮换的，但命题者觉得还不够，特意对中间那块作了变化，增强了迷惑性和吓唬人的效果，这种命制手法我认为是拙劣的，出来的不等式也没啥价值。