双曲线折叠最值问题

史嘉

求思路——

已知双曲线$x^2-y^2=1$,P,Q为双曲线上关于原点O对称的两点。
现将平面沿y=-x折成直二面角，求|PQ|的最小值。

谢谢！

Tesla35

据计算，莫非是根号2？

kuing

先将坐标系顺时针旋转 $45\du$，双曲线变成 $xy=1/2$，折痕变成 $x$ 轴。设 $P(x,y)$，则折起后画个矩形知
\[PQ^2=y^2+y^2+(2x)^2=2y^2+4x^2\geqslant 4\sqrt2\abs{xy}=2\sqrt2,\]
所以 $PQ\geqslant\sqrt[4]8$，取等条件略。

Tesla35

设双曲线参数方程为：$x=\sec\theta,y=\tan\theta$，
根据对称性不妨设点$P$在第一象限$P(\sec\theta,\tan\theta)$
设$\angle POx=\alpha$
则
$$k_{OP}=\tan\alpha=\sin\theta(\theta\in[0,\frac{\pi}{2}))$$
$$OP^2=\sec^2\theta+\tan^2\theta=\frac{1+\sin^2\theta}{\cos^2\theta}$$
设在$y=-x$上有一点$A$
根据那个什么三余弦定理，折叠后：
$$\cos\angle POQ=\cos\angle AOP\cdot\cos\angle QOA=-\cos^2(\alpha+\frac{\pi}{4})$$
根据余弦定理：
$$PQ^2=OP^2+OQ^2-2OP\cdot OQ\angle POQ=2OP^2+\cos^2(\alpha+\frac{\pi}{4})OP^2$$
$$PQ^2=\frac{1+\sin^2\theta}{\cos^2\theta}(2+\cos^2(\alpha+\frac{\pi}{4}))$$
经过复杂的整体化简得。。
$$PQ^2=\frac{3\sin^2\theta-2\sin\theta+3}{1+\sin^2\theta}$$
再经过计算。。。
求得最小值。。
$$PQ^2\geqslant 2\sqrt{2}$$
$$PQ_{min}=\sqrt[4]{8}$$

乌贼

答案如此古怪，怪不得几何法难弄，虽然圆半径增大，但对应弦长的角度却变小。

史嘉

回复 3# kuing

旋转的巧妙！
方程的变化需要推导（借助极坐标，是否简单些？）。
谢谢！

史嘉

回复 4# Tesla35

参数方程好想法，只是运算不小。
一个选做题，不过，总算做出来了。
非常感谢！

其妙

回复 7# 史嘉
设$P(x,y),Q(-x,-y)$，则$y^2-x^2=1$，折叠后，用两次勾股定理（即求长方体的体对角线当然要用两次勾股定理哦）得：

$|PQ|^2=d^2+\left[d^2+\left(2\sqrt{x^2+y^2-d^2}\right)^2\right]=4x^2+4y^2-(y+x)^2=3x^2+3y^2-2xy\geqslant2\sqrt2(y^2-x^2)=2\sqrt2$，

(上面对$-2xy$使用了待定系数法放缩，还有其他方法，例如柯西不等式，略)，其中$d=\dfrac{|x+y|}{\sqrt2}$表示点$P(x,y)$到直线$x+y=0$的距离，

        故$|PQ|\geqslant\sqrt[4]8$.

kuing

回复  kuing

旋转的巧妙！
方程的变化需要推导（借助极坐标，是否简单些？）。
谢谢！ ...
史嘉 发表于 2013-12-5 09:56

$x^2-y^2=1$ 以 $y=\pm x$ 为渐近线，所以旋转 $45\du$ 后必然为反比例函数 $y=k/x$，再根据顶点与原点的距离就容易得出 $k$。

史嘉

好好！

其妙

回复 8# 其妙
把这里的均值不等式方法写全，是不是容易理解些了？
上面不等式成立是因为：$2txy=2\cdot tx\cdot y\leqslant(tx)^2+y^2$，故$2xy\leqslant tx^2+\dfrac{y^2}{t}$，其中$t=3+2\sqrt2,\dfrac1t=3-2\sqrt2$.于是，

$|PQ|^2=4x^2+4y^2-(y+x)^2=3x^2+3y^2-2xy\geqslant3x^2+3y^2-(tx^2+\dfrac{y^2}{t})=(3-t)x^2+(3-\dfrac1t)y^2=2\sqrt2(y^2-x^2)=2\sqrt2$，

其中$d=\dfrac{|x+y|}{\sqrt2}$表示点$P(x,y)$到直线$x+y=0$的距离，

        故$|PQ|\geqslant\sqrt[4]8$.

史嘉

回复 11# 其妙

是的。辛苦了！

其妙

原来楼主改了数据，怪不得答案要开4次方啊！
blog.sina.com.cn/s/blog_64e168d30101rjeb.html