一道立体几何的疑惑

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如图，在正四棱柱 $ABCD-A_1B_1C_1D_1$ 中，$AB=3$，$AA_1=2\sqrt{6}$，$P$ 是该正四棱柱表面或内部一点，直线 $PB$、$PC$ 与底面 $ABCD$ 所成的角分别记为 $\alpha$、$\beta$，且 $\sin\beta=2\sin\alpha$，记动点 $P$ 的轨迹与棱 $CC_1$ 的交点为 $Q$，则下列说法正确的是（　　）

• $Q$ 为 $CC_1$ 中点
• 线段 $PA_1$ 长度的最小值为 $5$
• 存在一点 $P$，使得 $PQ \parallel$ 平面 $AB_1D_1$
• 若 $P$ 在正四棱柱 $ABCD-A_1B_1C_1D_1$ 表面，则点 $P$ 的轨迹长度为 $\displaystyle \frac{8+3\sqrt{3}}{6}\pi$

mapway

B、C选项是正确的。

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