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源自知乎提问
题：不相等三实数 $a,b,c$ 满足 $a+1/b=b+1/c=c+1/a=t$ ，求 $t$ 的值.
将三式 $a+\frac1b=t,\,b+\frac1c=t,\,c+\frac1a=t$ 两两相减，得到 $a-b=\frac{b-c}{cb}$ ， $b-c=\frac{c-a}{ac}$ ， $c-a=\frac{a-b}{ba}$ ，三式相乘 \[(a-b)(b-c)(c-a)=\frac{(b-c)(c-a)(a-b)}{a^2b^2c^2},\] 又三实数不相等，则知 $abc=\pm 1$ .
先讨论 $abc=1$ 时.
将三式 $a+\frac1b=t,\,b+\frac1c=t,\,c+\frac1a=t$ 相加\[3t=a+b+c+\frac1b+\frac1c+\frac1a=a+b+c+ac+ab+bc,\] 再将三式相乘 \[t^3=(ab+1)(bc+1)(ca+1)=2+a+b+c+ab+bc+ca,\] 所以 \[t^3=2+3t\Rightarrow t=-1,\,{\cancel{2}}.\] （这个舍弃 2 可能对应了 $a=b=c=1$ ，未深入)
当 $abc=-1$ ，类似的得到 \[3t=a+b+c-ab-bc-ca,\]\[t^3=-(2-a-b-c+ab+bc+ca),\] 所以 $t^3=-2+3t$ ，解得 $t=1,\,{\cancel{-2}}$ .
（这个舍弃 $-2$ 可能对应了 $a=b=c=-1$ ，未深入)
所以 $t=\pm 1$ .
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