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源自知乎提问
题：若三互不相等实数 $a,b,c$ 满足 $a=ab+c,b=bc+a,c=ca+b$ ，求 $a+b+c$ 的值.
多元归一试试，消 b，c，由前两式有 $b=b(a-ab)+a$ .
由一，三两式 $a-ab=(a-ab)a+b$ ，所以 $b=\frac{a^2-a}{a^2-a-1}$ ，于是 \begin{gather*}
\frac{a^2-a}{a^2-a-1}=\frac{a^2-a}{a^2-a-1}\left(a-a\frac{a^2-a}{a^2-a-1}\right)+a\\[1ex]
\frac{a^2-a}{a^2-a-1}=\frac{(a^2-a)a}{a^2-a-1}\frac{-1}{a^2-a-1}+a\\[1ex]
(a^2-a-1)(a^2-a)=-a^3+a^2+a(a^2-a-1)^2\\[1ex]
(a^2-a-1)(a-1)=-a^2+a+(a^2-a-1)^2\\[1ex]
-a^2+a+(a^2-a-1)(a^2-2a)=0\\[1ex]
-a+1+(a^2-a-1)(a-2)=0\\[1ex]
a^3-3a^2+3=0,
\end{gather*} 由轮换对称性，亦有 $b^3-3b^2+3=0$ ， $c^3-3c^2+3=0$ 成立，所以 a，b，c 是一元三次方程 \[x^3-3x^2+3=0,\] 三个不同的实根，由韦达定理知 \[a+b+c=-\frac{-3}1=3.\] 再来补充细节：
若 $a^2-a-1=0$ （就是上面的分线母），则 $0\cdot b=a^2-a$ 即有 $a^2-a=0$ 这与 $a^2-a=1$ 矛盾，所以 $a^2-a-1\ne 0$ .
若 $a=0$ （就是上面约分的公因式），则 $0=0\cdot b+c$ ， 这样便有 $a=c=0$ 与 $a\ne c$ 矛盾.
综上所述，知 $a+b+c=3$ .
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