$\abs{\bm a}=\abs{\bm a+3\bm b}=2$ ，求 $\abs{\bm a+\bm b}+\abs{\bm b}$ 最大值

isee

问题：两个非零平面向量 $\bm a,\bm b$ 满足 $\abs{\bm a}=2$， $\abs{\bm a+3\bm b}=2$ ，求 $\abs{\bm a+\bm b}+\abs{\bm b}$ 最大值.

snowblink

根号6？

kuing

\begin{align*}
\abs{\bm a+\bm b}+\abs{\bm b}&\leqslant\sqrt{\left(1+\frac12\right)(\abs{\bm a+\bm b}^2+2\abs{\bm b}^2)}\\
&=\sqrt{\bm a^2+\frac12(\bm a+3\bm b)^2}\\
&=\sqrt6.
\end{align*}

isee

kuing 发表于 2025-8-13 20:44
...

把这样的向量
\[3(\bm a+\bm b)^2+6\bm b^2=2\bm a^2+(\bm a+3\bm b)^2\]
恒等式完得太熟了