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源自知乎提问
浙江味~~~
题：已知平面向量 $\overrightarrow x,\overrightarrow y,\overrightarrow z$ 满足 $|\overrightarrow x|=\frac 12|\overrightarrow y|=\overrightarrow x\cdot \overrightarrow y=\overrightarrow z=1$ ，则 $|0.5\overrightarrow x+\overrightarrow z|+0.5|\overrightarrow y-\overrightarrow z|$ 的取值范围是______.
写得相当“隔离”.
先处理最大值.
依题设不妨令 $\overrightarrow x=(1/2,\sqrt 3/2)$ ， $\overrightarrow y=(2,0)$ ， $z=(\cos\theta,\sin\theta)$ ，由 $\frac{a+b}2\leqslant \sqrt{\frac{a^2+b^2}2}$知 \begin{align*}
&\quad\;\;|0.5\overrightarrow x+\overrightarrow z|+0.5|\overrightarrow y-\overrightarrow z|\\[1ex]
&=\sqrt{(1/4+\cos\theta)^2+(\sqrt 3/4+\sin\theta)^2}+\frac 12\sqrt{(2-\cos\theta)^2+\sin^2\theta}\\[1ex]
&=\sqrt{\frac 54+\frac{\sqrt 3}2\sin\theta+\frac 12\cos\theta}+\sqrt{\frac 54-\cos\theta}\\[1ex]
&\leqslant 2\sqrt{\frac{\frac 54+\frac{\sqrt 3}2\sin\theta+\frac 12\cos\theta+\frac 54-\cos\theta}2}\\[1ex]
&=\sqrt{5+2\sin(\theta-\pi/6)}\\[1ex]
&\leqslant\sqrt 7.
\end{align*} 当且仅当 $\theta=\dfrac{2\pi}3$ 时两等号同时成立.
再处理最小值.
由 $\overrightarrow x,\overrightarrow z$ 均为单位向量，易得 $|0.5\overrightarrow x+z |=|x+0.5\overrightarrow z|$ ,于是 \begin{align*}
|0.5\overrightarrow x+\overrightarrow z|+0.5|\overrightarrow y-\overrightarrow z|&=|\overrightarrow x+0.5\overrightarrow z|+|0.5\overrightarrow y-0.5\overrightarrow z|\\[1ex]
&\geqslant|\overrightarrow x+0.5\overrightarrow z+0.5\overrightarrow y-0.5\overrightarrow z|\\[1ex]
&=|x+0.5\overrightarrow y|\\
&=\sqrt 3.
\end{align*}当且仅当 $\overrightarrow x+0.5\overrightarrow z$ 与 $0.5(\overrightarrow y-\overrightarrow z)$ 同向共线取等号，此时 $\theta=-\dfrac\pi3.$
综上所求范围为 $[\sqrt 3,\sqrt 7].$
写完了，想了想，图形上（几何）可以用阿氏圆来统一，但是最大值不够"清晰". |
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