来自人教群的简单三元不等式xy/z+yz/x+zx/y

kuing

教师-tan9p(3653*****)  15:43:44
$x, y, z>0, x^2+y^2+z^2=1$ 求 $\frac{x y}{z}+\frac{y z}{x}+\frac{z x}{y}$ 的最小值
应该可以用cauchy做吧，自己不熟练，帮忙提示一下：）

Admin-kuing  15:54:33
@教师-tan9p
\begin{align*}
\left( \frac{xy}z+\frac{yz}x+\frac{zx}y \right)^2&=\sum\frac{x^2y^2}{z^2}+2\sum x^2 \\
& =\frac{x^4y^4+y^4z^4+z^4x^4}{x^2y^2z^2}+2\sum x^2 \\
& \geqslant \frac{x^2y^2z^2(x^2+y^2+z^2)}{x^2y^2z^2}+2\sum x^2 \\
& =3\sum x^2
\end{align*}

教师-tan9p(3653*****)  15:55:00
谢谢kuing版
这是mathtype?
Admin-kuing  15:56:33
嗯
教师-tan9p(3653*****)  15:57:31
我总觉得政不等式有种调整次数的感觉，找方向时，次数是不是可以提供思路呢？
Admin-kuing  16:00:23
不知道，这个第一眼就是平方，然后就水到渠成了

郝酒

好奇地问下，QQ号是自动隐去的？
+++++++
好二 ，可以无视了~

其妙

好久没遇到这么菜的不等式了，我也来试试（复杂的不等式不会做）：
\begin{align*}
\left( \frac{xy}z+\frac{yz}x+\frac{zx}y \right)^2
&\geqslant 3(\frac{xy}z\cdot\frac{yz}x+\frac{yz}x\cdot\frac{zx}y+\frac{xy}z\cdot\frac{zx}y) \\
&=3(y^2+z^2+x^2)\\
&=3
\end{align*}

kuing

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