又到求角度时间，来自人教群的

kuing

湘A教师-渔舟(2571****) 23:29:19
请教大家一个初中几何题
湘A教师-渔舟(2571****) 23:29:26
在直角三角形ABC中，∠C=90°，∠A=60°，D，E分别是BC，AC上的点，且∠CAD=20°，∠CBE=10°，求∠EDA的度数

尼玛这种题每次看都似曾相识，就是不会做（三角法除外）

几何党们，上吧……

战巡

回复 1# kuing


作等边$\Delta DBG$，其他连线如图

首先显然$∠BEA=100\du, ∠AFE=∠BFD=180\du-100\du-20\du=60\du=∠DGB$
因此有$G,B,D,F$共圆，$∠FGD=∠FBD=10\du, ∠GFB=∠GDB=60\du=∠AFG$
然后$∠EFH=∠EFA+∠AFG=120\du=180\du-∠EAH$，有$A,E,F,H$共圆，$∠EAF=∠EHF=20\du$

又显然$∠DBA=∠GBA=30\du$，有$AB$为$DG$中垂线，$GH=DH, ∠HGD=∠HDG=10\du, ∠FHD=20\du=∠EHF$
加上$∠EFH=∠HFD=120\du$以及$HF$这条公共边，可知$△HEF≌△HFD, EF=FD$，然后知$∠FED=∠FDE=30\du$

kuing

我也弄了一个。



作 $A$ 关于 $BC$ 的对称点 $A'$，延长 $A'D$ 交 $AB$ 于 $F$。

由 $\angle FA'B=\angle DAB=40\du=\angle EBA'$ 可知 $\triangle A'BE\cong\triangle BA'F$，故 $\triangle AEF$ 是等边三角形，且 $\angle BFD=\angle BEC=80\du$，而 $\angle FAD=40\du$，故 $\angle FDA=40\du$，即 $FD=FA=FE$，下略。

kuing

回复 2# 战巡

看懂鸟，这构造挺爽，一下就弄了两个共圆，各种角度就出来了

乌贼

$ AD,BE交于F，分别作\angle DAB,\angle EBA平分线交于G。有\triangle AEF\cong \triangle AGF，\triangle BGF\cong \triangle BDF，有EF=GF=DF。有\angle FDE=\angle FED=30\du  $

kuing

回复 5# 乌贼

好久没见
看上去打公式比以前懒了所有东西只用一对 \$ …

乌贼

其妙

回复 7# 乌贼

kuing

回复 5# 乌贼

话说，为什么作平分线后就有 $\triangle AEF\cong \triangle AGF$？

乌贼

回复 9# kuing

$ G $是$ \triangle AFB $的内心，$ \angle AFG=\angle BFG=60\du  $……

kuing

回复 10# 乌贼

soga，我逗比了……

isee

给个臭而长的证法。




这个解法，基于顶角为20度的等腰三角形特殊的性质，如果正式写，算是引理。
而，这些，正好是竞赛中，最为常见的；不熟悉竞赛的，这些结论本来就很难证明。


同一法。




先构造出顶角为20度的等腰三角形，
即图中红线三角形，如图中，
取$BG=AF$，则$\angle EGA=\angle FGA=30^\circ$(初次见这个的，不防耐心，求证一下）。

再次构造顶角为20的等腰三角形$FBA'$，
如图中，取$D'G=BG$，则有等腰梯形$A'D'GB$(如图，你已经弄明白了上次30度，这个也应该能明白），正三角形$A'D'F$。

于是，$A'F=A'E(=AE)=A'D'\Rightarrow \angle FD'E=\dfrac 12 \angle FA'E=10^\circ$，
从而等腰三角形$FD'A$中，$\angle ED'A=30^\circ$

从而，有$A,E,D',G$四点共圆，从而说明$D'$即为题中的$D$点（重合），$\angle EDA=30^\circ$。

真是臭而长，虽然偶个人思考过程是一瞬间的事儿……

isee

以上证法中，原题中的直角是多余的，其实是解决了这个四边形中的角度问题。