不等式群的不等式

hjfmhh

设 $a, b, c \inR^{+}$，求 $\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+2 a}+\frac{c}{2 a+3 b}$ 的最小值

kuing

遇到四次方程，数据要改。

转化与化归

回复 1# hjfmhh
用电脑拉了拉！$$y_\min= 0.96567$$

kuing

回复 3# 转化与化归

它是方程 256x^4+1216x^3+1444x^2-840x-1853=0 的一个根

kuing

改成 $a$, $b$, $c\inR^+$ 求
\[\frac a{b+c}+\frac b{c+2a}+\frac c{2a+\color{red}5b}\]
的最小值就可以做了，大家不妨试试。

其妙

分母换元可以做吧？

kuing

回复 6# 其妙

certainly

其妙

回复  转化与化归

它是方程 $256x^4+1216x^3+1444x^2-840x-1853=0 $的一个根
kuing 发表于 2015-6-20 13:10

怎么能转化成这个四次的方程的根？有什么结论？

hjfmhh

回复 6# 其妙
令$b+c=x,c+2a=y,2a+5b=z$
则$a=\frac{z-5x+5y}{12},b=\frac{x+z-y}{6},c=\frac{5x+y-z}{6}$
$\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+2a}+\frac{c}{2a+5b}
=(\frac{z}{12x}+\frac{5x}{6z})+(\frac{5y}{12x}+\frac{x}{6y})+
(\frac{z}{6y}+\frac{y}{6z})-\frac{3}{4}$
之后直接均值不行，取等不能同时得到，怎么处理？

hjfmhh

回复 8# 其妙
同求kuing的解说

kuing

回复 9# hjfmhh

令$b+c=x,c+2a=y,2a+5b=z$
则$a=\frac{z-5x+5y}{12},b=\frac{x+z-y}{6},c=\frac{5x+y-z}{6}$
$\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+2a}+\frac{c}{2a+5b}
=(\frac{z}{12x}+\frac{5x}{6z})+(\frac{5y}{12x}+\frac{x}{6y})+
(\frac{z}{6y}+\frac{y}{6z})-\frac{3}{4}$
之后直接均值不行，取等不能同时得到，怎么处理？
hjfmhh 发表于 2015-6-20 21:14

令 $x/z=t^2/2$, $y/z=u^2/2$, $t$, $u>0$，则
\begin{align*}
\frac z{12x}+\frac{5x}{6z}+\frac{5y}{12x}+\frac x{6y}+\frac z{6y}+\frac y{6z}&=\frac1{6t^2}+\frac{5t^2}{12}+\frac{5u^2}{12t^2} +\frac{t^2}{6u^2}+\frac1{3u^2}+\frac{u^2}{12} \\
& =\frac{5u^2+2}{12}\left( \frac{t^2}{u^2}+\frac1{t^2} \right)+\frac1{3u^2}+\frac{u^2}{12} \\
& \geqslant \frac{5u^2+2}{6u}+\frac1{3u^2}+\frac{u^2}{12} \\
& =f(u),
\end{align*}
求导得
\[f'(u)=\frac u6+\frac56-\frac1{3u^2}-\frac2{3u^3}
=\frac{(u-1)(u^3+6u^2+6u+4)}{6u^3},\]
下略。

改数据之前也可以用一样的方法做，但求导后无法分解了，所以数据是得设计的。

isee

k，肯定用待定系数法，我觉着。。。

hjfmhh

kuing的解法没用待定系数法，他的换元减少了变元，比较好，不知道是不是常用换元，为什么右边写成$\frac{t^2}{2},\frac{u^2}{2}$,不写成t,u呢？。
取等条件是a:b:c=1:2:4，待定系数法不好弄吧

其妙

回复 13# hjfmhh
主要是隐含了一个条件$\dfrac yx \cdot \dfrac xz\cdot\dfrac zy=1 $，所以扎克（kuing）进行了一个换元，减少了一个未知数。

其妙

回复 13# hjfmhh
令$b+c=x,c+2a=y,2a+5b=z$

则$a=\dfrac{z-5x+5y}{12},b=\dfrac{x+z-y}{6},c=\dfrac{5x+y-z}{6}$

$\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+2a}+\dfrac{c}{2a+5b}
=(\dfrac{z}{12x}+\dfrac{5x}{6z})+(\dfrac{5y}{12x}+\dfrac{x}{6y})+
(\dfrac{z}{6y}+\dfrac{y}{6z})-\dfrac{3}{4}$

${\kern 115pt}= (\dfrac{z}{12x}+\dfrac{2x}{6z})+(\dfrac{2y}{12x}+\dfrac{x}{6y})+ (\dfrac{z}{24y}+\dfrac{y}{6z})+(\dfrac{3z}{24y}+\dfrac{3x}{6z}+\dfrac{3y}{12x})-\dfrac{3}{4}$

${\kern 115pt}\geqslant\dfrac13+\dfrac13+\dfrac16+\dfrac34-\dfrac34 $

${\kern 115pt}=\dfrac56 $

hjfmhh

回复 15# 其妙


能不能直接令$\frac{a}{b+c}=x,\frac{b}{c+2a}=y,\frac{c}{2a+5b}=z$,
则原问题变为$x,y,z$是正实数，$2xy+2zx+5yz+12xyz=1$,求$x+y+z$的最小值

江苏刘双周老师解答

若 $x, y, z \in R^{+}$，且 $2 x y+5 y z+2 z x+12 x y z=1$ ，求 $x+y+z$ 的最小值。
解：令 $t=y+z$
\[
\begin{aligned}
& 1=2 x(y+z)+12 x y z+5 y z \leq 2 x(y+z)+3 x(y+z)^2+\frac{5}{4}(y+z)^2 \\
& \Rightarrow 4 \leq 8 x(y+z)+12 x(y+z)^2+5(y+z)^2 \Rightarrow 4 \leq 8 x t+12 x t^2+5 t^2 \\
& \Rightarrow\left(8 t+12 t^2\right) x \geq 4-5 t^2 \Rightarrow x \geq \frac{4-5 t^2}{8 t+12 t^2} \\
& \Rightarrow x+y+z \geq \frac{4-5 t^2}{8 t+12 t^2}+t=\frac{12 t^3+3 t^2+4}{8 t+12 t^2}=\frac{12 t^3+3 t^2+4}{4\left(2 t+3 t^2\right)}
\end{aligned}
\]
下面证 $\frac{12 t^3+3 t^2+4}{4\left(2 t+3 t^2\right)} \geq \frac{5}{6} \Leftrightarrow(3 t-2)^2(4 t+3) \geq 0$ 显然成立
当且仅当 $y=z=\frac{1}{3}, x=\frac{1}{6}$ 时取等号

能不能直接令$\frac{b}{a}=x,\frac{c}{b}=y,\frac{a}{c}=z$
则$\frac{1}{\frac{b}{a}+\frac{c}{a}}+\frac{1}{\frac{c}{b}+\frac{2a}{b}}+\frac{1}{\frac{2a}{c}+\frac{5b}{c}}=\frac{1}{x+xy}+\frac{1}{y+2yz}+\frac{1}{2z+5xz}$之后有好方法吗求教

kuing

回复 15# 其妙

这系数咋配的

其妙

回复 17# kuing

转化与化归

回复 5# kuing
$\begin{aligned} & \because\left(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+2 a}+\frac{c}{2 a+5 b}\right)(4 a(b+c)+4 b(c+2 a)+c(2 a+5 b)) \\ & \geq(2 a+2 b+c)^2=\frac{(2 a)^2+b^2}{2}+\frac{(2 a)^2+\left(\frac{1}{2} c\right)^2}{2}+\frac{(\sqrt{7} b)^2+\left(\frac{\sqrt{7}}{2} c\right)^2}{2}+4(2 a b+a c+b c) \\ & \geq \frac{5}{6}(12 a b+6 a c+9 b c) \\ & \therefore \frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+2 a}+\frac{c}{2 a+5 b} \geq \frac{5}{6} . \quad(a: b: c=1: 2: 4)\end{aligned}$

其妙

\begin{aligned}
& \frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+2 a}+\frac{c}{2 a+5 b}=\frac{a^2}{a b+a c}+\frac{b^2}{c b+2 a b}+\frac{\frac{1}{4} c^2}{\frac{1}{4}(2 a c+5 b c)} \geq \frac{\left(a+b+\frac{1}{2} c\right)^2}{3 a b+\frac{9}{4} b c+\frac{3}{2} c a} \\
& \text { 只需 } \frac{\left(a+b+\frac{1}{2} c\right)^2}{3 a b+\frac{9}{4} b c+\frac{3}{2} c a} \geq \frac{5}{6}
\\
&\text { 等价于以下三个式相加：}\\
& 12 a^2+3 b^2 \geq 12 a b \\
& 21 b^2+\frac{21}{4} c^2 \geq 21 b c \\
& \frac{3}{4} c^2+12 a^2 \geq 6 c a
\end{aligned}实际上是一样的