人教QQ群引出的一了个求角度的猜想：(2楼）(解答12#)

isee

如图所示，$\triangle ABC,\angle CAB=30^\circ,\angle EAB=10^\circ,\angle B=70^\circ$，$CD$为角分线，求证：$DE\sslash AC.$







此猜是正确的，暴力计算如下：

\begin{align*}
DE \sslash AC \iff \dfrac {CE}{EB}&=\dfrac {AD}{DB}\\
\iff \dfrac {AC\sin 20^\circ}{AB\sin 10^\circ}&=\dfrac {AC}{BC}\\
\iff \dfrac {\sin 20^\circ}{\sin 10^\circ}&=\dfrac {\sin 80^\circ}{\sin 30^\circ}\\
\iff 2\sin 10^\circ \sin 80^\circ&=\sin 20^\circ
\end{align*}

这显然是成立的，从而命题得证。

isee

其逆命题：





如图所示，$\triangle ABC,\angle DCA=\angle BCD=40^\circ,\angle B=70^\circ,DE\sslash AC$，求证：$AE=AC.$(即$\angle EAB=10^\circ.$)

这个如何证明？或者否定呢？

isee

2楼没有去求证$CD$是角分线，这是成立的，这是因为与1楼一般，过程反着写，会有\[\frac {\sin DCA}{\sin BCD}=1.\]

isee

哦，其原始题目是：（由于偶当时一眼觉图中的线是平行的，猜想结果是80度，但错了；故引出做平行线，实亦为轴对称的想法）






tzhp6666 自问自答如下：

isee

在顶楼的引理之下，一种并不简单的解决方法如下：

作角分线后，有平行线，于是证：图两阴影三角全等，之后就好办了。

其妙

李斌还不来呀？

kuing

回复 4# isee

你看聊天记录不仔细，tzhp6666 不是自问自答的。首先是有人提问，接着有人看不清E点在哪，于是tzhp6666就发了上面这个图，随后也给解了。

乌贼

回复 6# 其妙

其妙

回复  其妙
乌贼 发表于 2015-7-3 01:10

v6mm131

isee

回复 10# v6mm131


    感谢解答4楼原始题，学习了。

isee

其逆命题：


如图所示，$\triangle ABC,\angle DCA=\angle BCD=40^\circ,\angle B=70^\circ,DE\sslash  ...
isee 发表于 2015-7-2 15:52

接2楼：






将$\triangle AEB $沿$AB$对折，如图，则正$\triangle DEE'\Rightarrow CE=EE'\Rightarrow \angle CE'B=30^\circ=\angle CAB$，
即$C,A,E',B$四点共圆，进一步可得$\angle EAB=10^\circ$，命题得证。

isee

回复 12# isee


    接1楼，纯平几，现在只想到了同一法：如楼上先过E作ED'平行于AC，然后证AD'是三角形ABC的角分线。

   目前只好大约如此处理，个人。

其妙

这儿有几道几何求角度“难题”：
blog.sina.com.cn/s/blog_71942ef00102vxif.html