转一道某教师群的$AB^2+CD^2=4AD^2$求角度

色k

又来求角度啦，那个平方和的条件不知怎么用，表示只会用三角证，求纯平几……

Tesla35

这题有些时日了

色k

回复 2# Tesla35

你撸过吗那？

Tesla35

回复 3# 色k


    必然不会。毫无性趣

色k

回复 4# Tesla35

渣
唉，明天有空写下三角

kuing

来，流氓三角法：

如图，延长 $CD$ 到 $E$ 使 $DE=DA$，则由 $AD+DC=BC$ 得 $CE=BC$，所以 $\triangle BCE$ 为等边三角形，不妨设其边长为 $1$，记 $\angle AEB=\theta$，则由正弦定理易得
\begin{align*}
AB&=\frac{\sin \theta }{\sin (170\du-\theta )}=\frac1{\sin 10\du\cot \theta +\cos 10\du}, \\
AD&=\frac{AE}{2\cos (60\du-\theta )}=\frac{\sin 10\du}{2\cos (60\du-\theta )\sin (170\du-\theta )}=\frac{\sin 10\du}{\sin 70\du-\sin (50\du-2\theta )},
\end{align*}
可见当 $\theta$ 增大时，$AB$ 增大，$AD$ 减少，而 $CD=1-AD$，则 $CD$ 增大，故此 $AB^2+CD^2$ 增大，$4AD^2$ 减少，所以满足 $AB^2+CD^2=4AD^2$ 的 $\theta$ 至多只有一个，下面验证 $\theta=10\du$ 满足此等式，代入得
\begin{align*}
AB&=\frac1{2\cos 10\du}, \\
AD&=\frac1{4\cos 50\du\cos 10\du}=\frac1{1+2\cos 40\du},
\end{align*}
则
\[4AD^2-CD^2=4AD^2-(1-AD)^2=\frac4{(1+2\cos 40\du)^2}-\frac{4\cos ^240\du}{(1+2\cos 40\du)^2}=\left( \frac{2\sin 40\du}{1+2\cos 40\du} \right)^2,\]
又
\[4\sin 40\du\cos 10\du=2\sin 50\du+1=2\cos 40\du+1
\riff \frac{2\sin 40\du}{1+2\cos 40\du}=\frac1{2\cos10\du},\]
由此即得 $4AD^2-CD^2=AB^2$，确实符合条件，所以 $\theta=10\du$，由此即得 $\angle A=150\du$。

isee

不知道这题是不是特意又逆命题为之的。。。。。