2017年理科 课标全国卷III 第11题 有唯一零点

isee

2017年理科 课标全国卷III 第11题


已知函数$f(x) = x^2 - 2x + a(\mathrm{e}^{x - 1} + \mathrm{e}^{ - x + 1})$有唯一零点，则$a = $（      ）
  A．$ - \frac 12$        B．$\frac 13$             C．$\frac 12$         D．1

abababa

回复 1# isee

令$x-1=iy$则$f(x)=-1-y^2+2a\cos y=f(y)$。也就是让$y^2+1$和$2a\cos y$只有一个交点，这两个都是偶函数，所以交点是对称的，总是偶数个交点，除了当$y=0$时交于点$(0,1)$的情况是两个交点重合，所以必须是$y=0$，也就是$2a\cos0=1$，$a=\frac{1}{2}$。

isee

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令$x-1=iy$则$f(x)=-1-y^2+2a\cos y=f(y)$。也就是让$y^2+1$和$2a\cos y$只有一个交点，这两 ...
abababa 发表于 2017-6-9 21:34

    这方法高等。。。。。

色k

回复 3# isee

我倒是不觉得，因为其实并不需要 $i$，直接 $f(x+1)=x^2-1+a(e^x+e^{-x})$，一样也是偶函数的事，代 $x=0$ 得 $a=1/2$。

严格来说还要检验，当然，在考场上自然就不管了。

isee

受启发，想到，直接换元（将$\mathrm{e}$的指数变简单)x-1=t，结果楼上就有平移结果了。。。。。。。

抛砖引玉了。。。。

乌贼

平移点在$(1,-1)$处，所以$a=-\dfrac12$

走走看看

若按常规解，可能是这样的：


不过，-1<a<0时，太复杂了，不知道如何讨论是好。

abababa

回复 4# 色k

嗯，确实不需要变成复数。因为最近在看那个三角形内一点，求角度的各种题，用角元塞瓦定理后变成三角方程，正余弦都可以化成指数形式，之后四则运算就简单多了，只是次数变高了。所以一看这题指数上是对称的就想到化成三角函数了。

其妙

回复 8# abababa
虽然不需要变成复数，但是让我们开了眼界，你突破了一个禁区（敢想别人之不敢想），并且能活学活用，这就是你的意义和价值之所在

乌贼

回复 9# 其妙
问题是考场上谁会$e^{iy}+e^{-iy}=2\cos y$

色k

回复 10# 乌贼

这和“开眼界”不矛盾

其妙

回复 11# 色k

其妙

我也来凑个热闹，好久没打过字了，代码有些生疏：

易知$f(x)=(x-1)^2+a(e^{x-1}+e^{1-x})-1$，故$f(1+x)=f(1-x)$，图像关于$x=1$对称.

①当$a>\dfrac12$时，$f(x)=(x-1)^2+a(e^{x-1}+e^{1-x})-1\geqslant2a-1>0$，此时函数$f(x)$没有零点，排除$D$；

②当$a=\dfrac12$时，$f(x)=(x-1)^2+a(e^{x-1}+e^{1-x})-1\geqslant2a-1=0$，当且仅当$x=1$时取等号，此时函数$f(x)$恰有唯一零点$x=1$，选项$C$可以；

③当$0<a<\dfrac12$时，$f(1)=2a-1<0$，$f(+\infty)=+\infty$，故函数$f(x)$时在$(1,+\infty)$至少有一个零点，根据对称性，$f(x)$时在$(-\infty，1)$至少有一个零点，故此时至少有两个零点，故排除$B$；

④当$a<0$时，$f(1)=2a-1<0$，若存在$t>1$，使得$f(t)>0$，则函数$f(x)$时在$(1,t)$至少有一个零点，根据对称性，$f(x)$时在$(2-t，1)$至少有一个零点，故此时$f(x)$至少有两个零点（或者叫偶数个零点），

若不存在上述的$t$值，则$f(x)<0$恒成立，函数$f(x)$没有零点，故排除$A$。

综上所述，选择$C$.

其妙

最后一段有点小小的瑕疵，但大意大家是明白的，不想改了