错证一题

力工

大家特别请kuing看看。

kuing

既然是错证，又何必发上来？

这题最佳系数N年前就撸过：artofproblemsolving.com/community/c1826h1012737

力工

请大神过目是正道！回复 2# kuing

kuing

嘛，还是对二楼链接里的过程作一点补充吧。

Find the maximum of $k$ such that $\forall a$, $b$, $c>0$, $abc=1$ the following inequality holds:
\[ \frac1a+\frac1b+\frac1c+\frac k{a+b+c}\geqslant 3+\frac k3. \]

当转化到
\[
k \leqslant \frac{ab + bc + ca - 3}{\frac13 - \frac1{a + b + c}}=f(a,b,c),
\]
当年由于懒，就直接由 uvw 定理得出“取最小值时一定有两个变量相等”这样的结论，而现实中，并不是大家都知道 uvw 定理，知道也不一定接受，接受也不一定喜欢用，所以有必要补充接地气的方法，其实这并不难，如下：

由对称性不妨设 $c=\max\{a,b,c\}$，因 $abc=1$ 且 $a$, $b$, $c$ 不全相等，故 $c>1$，将 $f(a,b,c)$ 整理为
\[
f(a,b,c)=\frac{\frac1c+(a+b)c-3}{\frac13-\frac1{a+b+c}}
=3c(a+b)-\frac{9(c-1)^3}{c(a+b+c-3)}+9c+\frac3c-9,
\]
由此可见，当 $c$ 固定时，$f(a,b,c)$ 关于 $a+b$ 递增，而 $c$ 固定相当于 $ab$ 固定，所以 $a=b$ 时 $a+b$ 最小，即 $f(a,b,c)$ 取最小值时必定 $a=b$。

kuing

试了一下 \schur 才发现 1 楼的系数 $36/5$ 的来由。

事实上，虽然 $36/5$ 并不是最佳系数，但它是能够使用 \schur 不等式证出的最大系数，或者说，命题者很可能就是通过 \schur 不等式构造出此系数的。

首先作倒代换 $a=1/x$, $b=1/y$, $c=1/z$，则 $x$, $y$, $z>0$, $xyz=1$，不等式变为
\[x+y+z+\frac{36}{5(xy+yz+zx)}\geqslant \frac{27}5=3+\frac13\cdot\frac{36}5,\]
令 $p=x+y+z$, $q=xy+yz+zx$，不等式即
\[p+\frac{36}{5q}\geqslant 3+\frac13\cdot\frac{36}5,\]
根据 \schur 不等式，有
\[\sum x(x-y)(x-z)\geqslant 0\iff p^3-4pq+9xyz\geqslant 0
\iff q\leqslant \frac{p^3+9}{4p},\]
因此，只需证
\[p+\frac{36}5\cdot \frac{4p}{p^3+9}\geqslant 3+\frac13\cdot\frac{36}5,\]
变形等价于
\[p-3\geqslant \frac{36}5\left( \frac13-\frac{4p}{p^3+9} \right)
=\frac{36}5\cdot \frac{(p-3)(p^2+3p-3)}{3(p^3+9)},\]
显然 $p\geqslant 3$，故只需证
\[\frac{3(p^3+9)}{p^2+3p-3}\geqslant \frac{36}5,\]
作差分解为
\[\frac{3(p-3)(5p^2+3p-27)}{5(p^2+3p-3)}\geqslant0,\]
显然成立，所以不等式得证。