3元可转3角函数不等式

wanhuihua

设 $x, y, z$ 为非负数且 $\sum x^2+x y z=4$
求证
$$\sum \sqrt{4-x^2} \geq \frac{\sqrt{3}}{3}\left(2 \sum x+\sum x y\right)$$（要求手工证明，计算量越小越好）

kuing

既然你都提到三角函数了，那就玩三角好了，挺简单的。

由条件可令 $x=2\cos A$, $y=2\cos B$, $z=2\cos C$, $A$, $B$, $C\in[0,\pi/2]$, $A+B+C=\pi$，则
\begin{align*}
\RHS&=\frac{4\sqrt3}3\left( \sum\cos A+\sum\cos A\cos B \right) \\
&=\frac{4\sqrt3}3\left( \sum(\sin B\sin C-\cos B\cos C)+\sum\cos A\cos B \right) \\
&=\frac{4\sqrt3}3\sum\sin B\sin C \\
&\leqslant \frac{4\sqrt3}9\left( \sum\sin A \right)^2 \\
&\leqslant \frac{4\sqrt3}9\cdot \frac{3\sqrt3}2\sum\sin A \\
&=2\sum\sin A\\
&=\LHS.
\end{align*}

wanhuihua

楼上证的非常好。进一步的问题很有意思
设 $x, y, z$ 为非负数且 $\sum x^2+x y z=4$
求证
\[
\sum\sqrt{4-x^2} \geq \sqrt{3}\left(k \sum x+(1-k) \sum x y\right)
\]
手工能证明的K最大可以是多少呢，大家一起来玩玩
机器出的数据最佳 $k \in[0.95,1]$，也是平凡值此时 $x, y, z$ 为 $\sqrt{2}, \sqrt{2}, 0$

wanhuihua

设 $x, y, z$ 为非负数且 $\sum x^2+x y z=4$
求证
$$\sum\sqrt{4-x^2} \geq \frac{\sqrt{3}}{4}\left(3 \sum x+\sum x y\right)$$
（要求手工证明，计算量越小越好）