顶角为20度的等腰三角形求与外心相关的角

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点$O$是$\triangle ABC$的外心，$BD$为$\triangle ABC$的角分线，若$AB=AC,\angle A=20^{\circ}$，求$\angle ODA$.


暂想出一个三角证明。

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在$AC$上取点$E$，使$\triangle AEO$为等腰三角形，记$$AE=x,CD=y,ED=z.$$
由$BD$为角分线有$$\frac y{x+z}=\frac {BC}{BA}=\frac {\sin 20^{\circ}}{\sin 80^{\circ}}=\frac {\sin 20^{\circ}}{\cos 10^{\circ}}.$$
连接$OC$，由于$O$点为三角形$ABC$的外心，故$AO=OC$，于是在$\triangle AOC$中$$\frac x{y+z}=\frac {AO\sin AOE}{OC \sin EOC}=\frac {\sin 10^\circ}{\sin 150^\circ}=2\sin 10^\circ.$$
由正弦倍角公式，得$$\sin 20^\circ=2\sin10^\circ\cos 10^\circ\iff \frac {\sin 20^{\circ}}{\cos 10^{\circ}}=2\sin 10^\circ.$$
从而$$\frac y{x+z}=\frac x{y+z}\iff (x-y)(x+y+z)=0\iff x=y.$$即$$AE=CD.$$这表明$$\triangle EAO\cong\triangle DCO.$$进一步，有$$\angle ODA=20^\circ.$$

游客

\begin{aligned}
\frac{\sin \theta}{\sin \beta}=\frac{C D}{A D} & =\frac{\sin 20^{\circ}}{\sin 80^{\circ}}=2 \sin 10^{\circ} \quad, \quad \theta+\beta=160^{\circ} . \\
\Rightarrow \sin \theta & =2 \sin 10^{\circ} \sin \left(160^{\circ}-\theta\right) \\
& =2 \sin 10^{\circ}\left(\sin 20^{\circ} \cos \theta+\cos 20^{\circ} \sin \theta\right) \\
\Rightarrow \tan \theta & =\frac{2 \sin 10^{\circ} \sin 20^{\circ}}{1-2 \sin 10^{\circ} \cos 20^{\circ}}=\frac{\sin 10^{\circ} \sin 20^{\circ}}{\sin 30^{\circ}-\sin 10^{\circ} \cos 20^{\circ}} \\
& =\frac{\sin 10^{\circ} \sin 20^{\circ}}{\sin \left(10^{\circ}+20^{\circ}\right)-\sin 10^{\circ} \cos 20^{\circ}} \\
& =\frac{\sin 10^{\circ} \sin 20^{\circ}}{\sin 20^{\circ} \cos 10^{\circ}}=\tan 10^{\circ} .
\end{aligned}

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游客 发表于 2017-8-29 10:36

原来那些都是纸老虎，

乌贼

连接$ AO,BO,CO $，$ G $为$ CO $与$ BD $交点，作$ DE\perp BO $交$ AB $于$ E $。易证\[ \angle DEG=\angle DCG =10\du \]
延长$ AO $交$ DE $于$ F $，连接$ BF $，$ \triangle ADB $中由你角平分线定理得\[ \angle ABF=20\du  \]易知\[ \angle BOE=20\du  \]所以$ \angle EOG=\angle EDG =60\du $，即$ EODG $四点共圆，有\[ \angle DOG=\angle DEG=\angle DCG =10\du \]