等腰三角形求线段长（有图）

isee

在$\triangle ABC$中，$AB=AC$且$\angle BAC=\pi/7$，点$D$为$BC$上一点，若$AD=BC=1$，求$CD$的长。

hejoseph

三角法很容易求得 $CD=\sqrt2$

isee

回复 2# hejoseph


    有结果了，期待平几。。。。。

游客

回复 2# hejoseph


    怎么算的？

hejoseph

回复 4# 游客
设 $\theta=\pi/7$，容易得
\[
AB=AC=\frac{1}{2}\sec 3\theta，
\]
所以
\[
BD=\frac{1}{2}\sec 3\theta-1，
\]
由余弦定理得
\begin{align*}
CD^2&=BC^2+BD^2-2\cdot BC\cdot BD\cos 3\theta\\
&=\frac{8\cos^3 3\theta+4\cos^2 3\theta-4\cos 3\theta+1}{4\cos^2 3\theta}，
\end{align*}
设 $x=3\theta$，$\cos x=t$，则
\[
CD^2=\frac{8t^3+4t^2-4t+1}{4t^2}，
\]
因为
\[
\cos 3x+\cos 4x=0，
\]
所以
\[
4t^3-3t+2\left(2t^2-1\right)^2-1=0，
\]
左边因式分解，得
\[
(t+1)\left(8t^3-4t^2-4t+1\right)=0，
\]
由此得
\[
8t^3-4t^2-4t+1=0，
\]
所以
\[
CD^2=2。
\]

isee

回复 4# 游客


    其实很难算，我算过，无果。

乌贼

过$ B $作$ BE $交$ AC $于$ E $，$ \angle EBC=\dfrac{\pi}{7} $，再作$ ED $交$ AB $于$ D $，$ \angle AED=\dfrac{\pi}{7} $，有\[ AD=DE=EB=BC=1 \]
如图:
作$ DF=CF=1 $，连接$ AF ,EF$，作$ DM\perp AC $分别交$ AC,AF $于$ N、M $，连接$ EM,FN $，有\[ \angle DEM=\angle DAM=\angle DFM \]有$ DEFM $四点共圆则有\[ \angle MDF=\angle MEF=\angle 2\]
又\[ \triangle ABC\sim \triangle BCE\riff \dfrac{AC}{BC}=\dfrac{BC}{CE} \]即\[ \dfrac{AC}{CF}=\dfrac{CF}{CE}\riff \triangle ACF\sim\triangle  FCE\riff\angle EFC=\angle FAC=\angle AEM=\angle 1 \]故\[ \angle NCF=\angle MEF=\angle MDF =\angle 2\]也就是$ NDCF $四点共圆，有$ \triangle DFC $为直角等腰三角形

isee

回复 7# 乌贼

啧啧，绝对网上首个平几证明！先赞后看。

乌贼

回复 7# 乌贼

哎，画蛇添足了，令\[ AE=2b,EC=a \]有\[ \triangle ABC\sim \triangle BCE\riff \dfrac{AC}{BC}=\dfrac{BC}{CE}\riff a^2+2ab=1\]得\[ CD^2=DN^2+CN^2=ED^2-ED^2+(CE+EN)^2=1+a^2+2ab=2 \]

isee

回复 9# 乌贼

这个也漂亮。那四线相等，与顶角是20度时一模样。

如此一看，此题是容易的，哈哈。

longzaifei

回复 7# 乌贼

为什么     $  \angle AED=\dfrac{\pi}{7}  $

乌贼

回复 11# longzaifei
看7楼，$E,D$点都是作出来的，先作$E$点，再作$D$点。（或者说$E,F$点都是作出来，$D,F$重合）

longzaifei

回复 12# 乌贼
后来明白了，谢谢！

isee

乌贼 发表于 2017-10-29 01:40
哎，画蛇添足了，令\[ AE=2b,EC=a \]有\[ \triangle ABC\sim \triangle BCE\riff \dfrac{AC ...

冯贝叶说“编者目前不知道任何纯几何的证明方法，如果有读者发现有这种证法，欢迎告知编者，编者将不胜感谢fby@amss.ac.cn

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