双曲线的离心率问题

敬畏数学

F是双曲线$\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1(a,b＞0)$的左焦点，在$x$轴上$F$点的右侧有点$A$，以$FA$为直径的圆与双曲线的左右两支在$x$轴的上方的交点分别为$M、N$，证明：$\dfrac{|FN|-|FM|}{|FA|}=\dfrac{1}{e}$，其中，$e$为双曲线的离心率。

kuing

设左准线交 $x$ 轴于 $P$，作别作 $MG$, $NH$ 垂直于 $x$ 轴，垂足为 $G$, $H$，如图。



我们有
\begin{align*}
FG&=FP-GP=c-\frac{a^2}c-\frac{FM}e=\frac{c^2-a^2-aFM}c,\\
FH&=FP+HP=c-\frac{a^2}c+\frac{FN}e=\frac{c^2-a^2+aFN}c,
\end{align*}
因为
\[FA=\frac{FM^2}{FG}=\frac{FN^2}{FH},\]
所以
\[\frac{FA}c=\frac{FM^2}{c^2-a^2-aFM}=\frac{FN^2}{c^2-a^2+aFN},\]
故由等比定理得
\[\frac{FA}c=\frac{FN^2-FM^2}{a(FN+FM)},\]
亦即
\[\frac{FN-FM}{FA}=\frac ac=\frac1e.\]

总感觉做复杂了……

走走看看

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神！

敬畏数学

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敬畏数学

类比，椭圆也有同样的结论：把双曲线的“-”改为“+”即可。
普通方法，用到焦半径（先证明一下），简单就得到相应的结论。
设出A点坐标，就有圆的方程，再联立双曲线方程，消去$y^2$,得到关于x的一元二次方程，伟大定理，借用下焦半径公式，嗯就出来了。

kuing

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嗯，而且上面的证法也一样可用。

如图，有
\begin{align*}
FG&=GP-FP=\frac{FM}e-\left(\frac{a^2}c-c\right)=\frac{c^2-a^2+aFM}c,\\
FH&=HP-FP=\frac{FN}e-\left(\frac{a^2}c-c\right)=\frac{c^2-a^2+aFN}c,
\end{align*}
然后
\[\frac{FA}c=\frac{FM^2}{c^2-a^2+aFM}=\frac{FN^2}{c^2-a^2+aFN},\]
最后等比定理
\[\frac{FA}c=\frac{FN^2-FM^2}{a(FN-FM)} \riff \frac{FN+FM}{FA}=\frac ac=\frac1e.\]

游客

双曲线中：\[
\begin{aligned}
& \text{令 } \overrightarrow{MF}_2=\lambda \overrightarrow{MF}_1+\mu \overrightarrow{MA} \text {, 则: } \lambda+\mu=1, \overrightarrow{NF}_2=\lambda \overrightarrow{NF}_1+\mu \overrightarrow{NA} \text { 。 } \\
& \Rightarrow\left|\overrightarrow{MF_2}\right|=\left|\lambda \overrightarrow{MF_1}+\mu \overrightarrow{MA}\right|=MF_1+2 a, \quad\left|\overrightarrow{NF_2}\right|=\left|\lambda \overrightarrow{NF_1}+\mu \overrightarrow{NA}\right|=NF_1-2 a . \\
& \Rightarrow \lambda^2 \cdot MF_1^2+\mu^2 \cdot MA^2=MF_1^2+4 a^2+4 aM F_1 \text {; } \\
& \lambda^2 \cdot NF_1^2+\mu^2 \cdot NA^2=NF_1^2+4 a^2-4 aNF_1 \text { 。 }
\end{aligned}
\]
即：$\lambda^2 \cdot MF_1^2+\mu^2 \cdot\left(F_1 A^2-MF_1^2\right)=MF_1^2+4 a^2+4 a MF_1$ ；
\[
\lambda^2 \cdot NF_1^2+\mu^2 \cdot\left(F_1A^2-NF_1^2\right)=NF_1^2+4 a^2-4 aNF_1
\]
两式相减，得：$\left(\lambda^2-\mu^2-1\right) \cdot\left(MF_1^2-NF_1^2\right)=4 a\left(MF_1+NF_1\right)$
$\Rightarrow 2 \mu\left(NF_1-MF_1\right)=4 a$ ．（再说明 $\mu=\frac{F_1F_2}{F_1A}$ 即可．）

kuing

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这解法有点意思

走走看看

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从理论上讲行，我觉得也可行。但不知何故，设了A（m，0），圆的方程与抛物线方程联立，再用焦半径公式，m始终不能消去。也就是说，得不到答案。不知道m的表达式如何得到。

走走看看

回复 7# 游客


怎么会想到用向量解决呢？把F2也用上了。神奇！