组合数求和

aishuxue

求: $ 2 C_1^1 C_{n-2}^1+3 C_2^1 C_{n-3}^1+4 C_3^1 C_{n-4}^1+\cdots+(n-1) C_{n-2}^1 C_1^1$

游客

回复 1# aishuxue


    倒序相加.

色k

擦，上标全是1，写成组合数有啥意思……

游客

回复 3# 色k


    可能是某种解法的提示,不过看着是眼花.
$\begin{aligned} & 2 C_1^1 C_{n-2}^1+3 C_2^1 C_{n-3}^1+4 C_3^1 C_{n-4}^1+\cdots+(n-1) C_{n-2}^1 C_1^1 \\ & =2\left(C_2^2 C_{n-2}^1+C_3^2 C_{n-3}^1+C_4^2 C_{n-4}^1+\cdots+C_{n-1}^2 C_1^1\right) \\ & =2(n+1)\left(C_2^2+C_3^2+C_4^2+\cdots+C_{n-1}^2\right) \\ & -2\left(3 C_2^2+4 C_3^2+5 C_4^2+\cdots+n C_{n-1}^2\right) \\ & =2(n+1) C_n^3-2 \times 3\left(C_3^3+C_4^3+C_5^3+\cdots+C_n^3\right) \\ & =2(n+1) C_n^3-6 C_{n+1}^4\end{aligned}$
不知道有没有写错,已经眼花了.

kuing

回复 4# 游客

这样写的话，到第二行的时候，这帖 forum.php?mod=viewthread&tid=4646 的4楼的推广式就可以派上用场了，让那里的 {r,s,n} 代入 {2,1,n-3} 即得结果为 $2C_{n+1}^4$。

游客

回复 5# kuing


    恩,我的式子最后还要再写一步,答案一样,应该没写错.