递推数列

chudengshuxue

1．在数列 $\an$ 中，已知 $a_1=\sqrt{3}$，且 $a_{n+1}^2=2+a_n$，试求数列 $\an$ 的一个通项公式．
2．在数列 $\an$ 中，已知 $a_1=\sqrt{3}$，且 $a_n a_{n+1}+1=\sqrt{a_{n+1}^2+1}$，试求数列 $\an$ 的一个通项公式．

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另外，系统讲解数列通项（高考范围外的，非常规的）的资料有没有？很多资料只是零散地谈到一些方法，比如特征根法，而且来龙去脉没有讲透。

kuing

第一个令 `a_n=2\cos b_n`；

第二个从递推式中解出 `a_{n+1}` 后再令 `a_n=\tan b_n`。

chudengshuxue

回复 2# kuing
感谢！有系统讲解递推数列的参考文献吗？求推荐学习。

Infinity

了解特征根法已经足够，超过这个范围比如函数不动点理论、母函数（生成函数）需要拓扑学、组合数学、数学分析等知识。

来龙去脉指的是什么？如果指的是线性递推方程特征根法是怎么来的，有两种方式理解：
1. 线性方程通解是基础解系线性组合加上非齐次特解构成
齐次线性差分方程有形式为$cr^n$基本解，代入方程后得到关于$r$的多项式方程，即特征方程，其根为特征根。

2. 矩阵的特征方程
高阶线性递推关系都可以写为一阶线性矩阵差分方程（可视为向量数列的等比数列，只不过这个公比是一个矩阵），求解该方程需要对角化解耦，系数矩阵的对角化需要求其特征方程，这个特征方程就是上面的特征方程，具体参见矩阵的特征值。

另外需要注意的是，任意数列通项并不总有初等函数形式；对于那些有初等表达的，其通项表达式也不一定唯一。