求证一个不等式

TSC999

$a, b, c>0$, 求证 $\frac{1}{a^2+2 b c}+\frac{1}{b^2+2 a c}+\frac{1}{c^2+2 a b} \geq \frac{2}{a b+b c+c a}$

kuing

右边是不是抄漏了一项？事实上有
\begin{align*}
&\frac1{a^2+2bc}+\frac1{b^2+2ca}+\frac1{c^2+2ab}-\frac2{ab+bc+ca}-\frac1{a^2+b^2+c^2}\\
={}&\frac{(a-b)^2(b-c)^2(c-a)^2(2a^2+2b^2+2c^2+ab+bc+ca)}{(a^2+2bc)(b^2+2ca)(c^2+2ab)(ab+bc+ca)(a^2+b^2+c^2)},
\end{align*}
所以
\[\frac1{a^2+2bc}+\frac1{b^2+2ca}+\frac1{c^2+2ab}\geqslant\frac2{ab+bc+ca}+\frac1{a^2+b^2+c^2}.\]

TSC999

噢，说明原不等式较弱。题目是从数学研发网站上摘来的，这个题还没有人做出来呢。原题中没有最右边的那一项（见下面的第 5 题）。

kuing

回复 3# TSC999

这些题有的非常简单，有的非常困难，不知是怎么搞在一起的哩？

第一题分母用均值 `a^2+1+1+1\ge4\sqrt a`，然后去分母就只需证 `\sum\sqrt{bc}\le a+b+c`，显然；
第二题前两天的帖子证过了，也算是简单题；
第三题等价于正数 `xyz=1` 证 `\sum\frac1{1+x}\le2`，而经简单计算知 `\sum\frac1{1+x}-2=-\frac{x y+x z+y z+1}{(x+1) (y+1) (z+1)}`，显然且取不了等；

玩了前三题以为后面都是弱题？原来只是哄你进坑，第四题直接卡死……

TSC999

回复  TSC999

这些题有的非常简单，有的非常困难，不知是怎么搞在一起的哩？

第一题分母用均值 `a^2+1+1 ...
kuing 发表于 2018-8-7 13:52

第三题可以取等，就是 a=0 但 b、c 不等于零（或轮换）。

kuing

回复 5# TSC999

题目要求正数好吧

TSC999

以上11道不等式是从《1691 Algebraic Inequalities》前400道中选取的.
选取人是: 数学研发网站的 kastin。上面这书只有题目，但是没有答案。