顶角为$\angle B=30^\circ$的三角形中求角

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如图，等腰三角形$ABC$的顶角$\angle B=30^\circ$，若$\angle CED=45^\circ$且$DE=AC$，求角$ACD$的大小.

业余的业余

肯定有几何妙法。

这里用正弦定理。记$\angle ACD=x$,

在 $\triangle ACD$ 中，有

$\frac {AC}{\sin (180^\circ -75^\circ-x)}=\frac {DC}{\sin 75^\circ} \tag 1$

在 $\triangle DEC$ 中， 有

$\frac {DE}{\sin (75^\circ-x)}=\frac {DC}{\sin 45^\circ} \tag 2$

又 $AC=DE$, 两式相除，整理有:
$\frac {\sin (105^\circ-x)}{\sin (75^\circ-x)}=\frac {\sin 75^\circ}{\sin 45^\circ}$

显然 $x=30^\circ$ 是方程的根。

反过来看，如果我们知道 $DE=DC$, 显然可以推出 $DC=AC$ 从而 $DE=AC$, 这种情况很容易知道 $\angle ACD=30^\circ$. 好了，都是猜的。这种题离不开等腰。漂亮的几何办法，期待来者

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回复 2# 业余的业余


    挺好的，我还用余弦硬的边$DC=DE$.
    其关键$$\left(\frac {\sin (105^\circ-x)}{\sin (75^\circ-x)}=\right)\frac {\sin (75^\circ+x)}{\sin (75^\circ-x)}=\frac {\sin 75^\circ}{\sin 45^\circ}$$先用合分比性质，然后和差化积最后得到的式子是$$\tan x=\cot 60^\circ=\tan 30^\circ.$$

业余的业余

回复 3# isee

一语惊醒梦中人。

战巡

回复 1# isee

作$∠ACD'=30°$，交$AB$于$D'$，再作$D'E'∥DE$，交$BC$于$E'$
易证$AC=CD'=D'E'=DE$，而由于$D'E'∥DE$，$\frac{BD}{BD'}=\frac{DE}{D'E'}=1$，因此$D', D$重合，$∠ACD=30°$

游客

这种唯一性的图,用单调性或同一法处理比较直接,
或者用三角或向量直接计算如下:

除此外,估计找个方法应该不简单.

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回复 5# 战巡

正如楼下的游客所言，同一法显神功，学习了。

isee

回复 6# 游客

把游客的代码化一下，by 游客

$$AD-AB-BD=\frac{AC\cdot \sin A}{\sin B}=\frac{DE\cdot \sin BED}{\sin B}=2AC\cdot (\sin 75^\circ-\sin 135^\circ)=2AC\cdot \sin 15^\circ.$$
于是$$CD=AC.$$

最后那个$\sin 15^\circ$看了好久，才明白原来应指 $\cos 75^\circ$，也学习了。

从另外一个方向说，用顶角的一半替换，就是三角形ADC与三角形 ACB 相似了。

乌贼

作等边三角形$ \triangle ACF $，有$ \triangle BEF $为等腰三角形，$ AFED $为平行四边形，又\[ \triangle BFE\cong \triangle FAD \]所以$ \triangle FAD $为等腰三角形……

isee

回复 9# 乌贼

仅就求角面言（直接法），向下作正三角形更迅速一些。