椭圆内一点互相垂直弦中点的直线

敬畏数学

过椭圆$ \dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2} =1(a>b>0)$内任意一点$(s,t)$作两条互相垂直的弦$ AB,CD $，若$ AB,CD $的中点分别为$ M,N $，证明：直线$ MN $恒过定点$ (\dfrac{a^2s}{a^2+b^2},\dfrac {b^2t}{a^2+b^2}) $

青青子衿

想起一个相关的
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kuing

既然已经知道所过的点是啥了，那就来个懒招

结论：二次曲线 `\Gamma`: `Ax^2+By^2=1`，定点 `P(x_0,y_0)`，过 `P` 作两互相垂直的直线交 `\Gamma` 于 `A`, `B` 及 `C`, `D`，设 `AB`, `CD` 的中点分别为 `M`, `N`，设 `Q\bigl(\frac B{A+B}x_0,\frac A{A+B}y_0\bigr)`，则直线 `MN` 恒过 `Q`。

证明：设 `AB`: `y-y_0=k(x-x_0)`，与 `\Gamma` 联立后利用韦达定理易得
\[M\left( \frac{Bk(kx_0-y_0)}{A+Bk^2},-\frac{A(kx_0-y_0)}{A+Bk^2} \right),\]计算它与 `Q` 的连线的斜率，可得
\[k_{MQ}=\frac{\frac{Bk(kx_0-y_0)}{A+Bk^2}-\frac B{A+B}x_0}{-\frac{A(kx_0-y_0)}{A+Bk^2}-\frac A{A+B}y_0}=\frac BA\cdot\frac{Ax_0\bigl(k-\frac1k\bigr)-(A+B)y_0}{-By_0\bigl(k-\frac1k\bigr)-(A+B)x_0},\]可以看到，上式作置换 `k\to-1/k` 是不变的，这表明对于另一点 `N`，它与 `Q` 的连线的斜率将与上式相同，由此可见直线 `MN` 恒过 `Q`。

敬畏数学

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突然想起这个，copy就可以啦！简单。