2020年全国卷3的23题的证明

lemondian

2020年全国卷3的23题（不等式证明题）
设$a,b,c\inR,a+b+c=0,abc=1.$
（1）证明：$ab+bc+ca<0$；
（2）证明：用max{a,b,c}表示$a,b,c$中的最大值，证明：max{a,b,c}$\geqslant \sqrt[3]{4}$。
问题（2）网上看到一种证法：

标红处看不懂，那位帮忙解析一下吧。

isee

回复 1# lemondian

原解法的，那意思就是$a$就是实数$x$吧。

isee

正常解也算自然吧，（2）由对称性，不妨设$c>0,a<0,b<0$，就是令$c$最大，则
\begin{align*}
1=abc&\leqslant c\left(\frac{b+a}2\right)^2=c\cdot \left(\frac {-c}2\right)^2=\frac {c^3}4\\
\Rightarrow c &\geqslant \sqrt[3]{4}
\end{align*}

lemondian

回复 3# isee
一般证法是能理解的，但1#的解法，应该是以c为变量，才是直线与双曲线有交点的呀，那么应该是关于c的二次方程有根，所以红线处不明白

facebooker

谁知道这题最早出现的时间？看风格是初中的竞赛题的感觉

kuing

回复  isee
一般证法是能理解的，但1#的解法，应该是以c为变量，才是直线与双曲线有交点的呀，那么应该是 ...
lemondian 发表于 2020-9-5 11:54

根本不用管什么直线双曲线什么变量不变量的，只要那等式成立且各字母均为实数，就有 delta>=0 成立，还是不理解的话，配个方就清楚了
\[a^2+ca+\frac1c=0\iff\left( a+\frac c2 \right)^2=\frac{c^2}4-\frac1c\]

lemondian

回复 6# kuing
感谢kuing!!!

bb226562

回复 1# lemondian

其实就是实数方程根有解的理解。和求值域中判别式法一样。
的意思。

lemondian

回复 5# facebooker
请问具体出处是？在那看到的？

facebooker

已知三个实数$a、b、c$满足$a+b+c=0，abc=1，$求证：$a、b、c$中至少有一个大于$3/2$ 这是这题第一次见到的时候的题目 后来才有max的写法。题目可追溯到上个世纪的初中时代，传承有序 是一道经典好题.