96伊朗不等式加强版

大佬最帅

题：已知 $a, b, c \inR^{+}, k>0$ ，求证
\[
\frac{1}{(k a+b)^2}+\frac{1}{(k b+c)^2}+\frac{1}{(k c+a)^2} \geq \frac{9}{(k+1)^2(a b+b c+c a)} .
\]

kuing

这个太难，毫无头绪，暂且放弃

PS、发帖时选一下主题分类，标题最好写些关键词（比如你这帖可以写上“伊朗96加强版”），方便日后搜索。

青青子衿

想起贴吧的伊朗96加强，至今（2021年）也没人给出完整的解答
tieba.baidu.com/p/1775443408

kuing

回复 3# 青青子衿

那边的第一个已经解决了啊，13楼的配方式是对嘀……
第二个用暴力方法还是阔以证嘀……
PS、第二个的最后一个分母打错了。

kuing

回复 3# 青青子衿

MMA 辅助下弄出的装X解法：

题目：设 `a`, `b`, `c>0` 且 `4\min\{a,b,c\}\geqslant\max\{a,b,c\}`，求证
\[(ab+bc+ca)\sum\frac1{(a+b)^2}\geqslant\frac94+\frac1{16}\sum\frac{(a-b)^2}{(a+b)^2}.\]

证明：不妨设 `a=\min\{a,b,c\}`，依题意有 `4a\geqslant b`, `4a\geqslant c`，原不等式去分母可配方为
\begin{align*}
&(8a-b-c)(b+c)(2a-b-c)^2(2a+b+c)^2\\
&+4(b-a)(c-a)(b-c)^2(33b^2+33c^2+56bc-38ab-38ac-10a^2)\\
&+(b+c)(b-c)^2\bigl((b+c-2a)^3+258(b+c-2a)^2a+672(b+c-2a)a^2+288a^3\bigr)\geqslant0,
\end{align*}显然成立。

大佬最帅

我对伊朗96加强版证明，有没有问题

kuing

我认为这部分是有问题嘀。

kuing

回复 2# kuing

举个例，当 a=3, b=2, c=1，此时 x=2+λ, y=1+λ, z=3-2λ。
按你的说法，左边取最小值时 x=z 或 y=z，即 λ=1/3 或 λ=2/3，
经比较后者较小，此时原式左边为 1377/1600 = 0.860625。
但实际上当 λ=0.57 时原式约为 0.846，更小。

青青子衿

伊朗96不等式加强
artofproblemsolving.com/community/c6h1463149p8455791

kuing

zhihu.com/question/472620191
有个“全导数”啥的，8太懂鸟……