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战巡
Posted 2022-6-7 20:02
22、
(1)、
易证$f(x)$最小在$x=\ln(a)$取到，$g(x)$最小在$x=\frac{1}{a}$取到，于是
\[f(\ln(a))=g(\frac{1}{a})\]
\[a-a\ln(a)=1+\ln(a)\]
\[a-a\ln(a)-\ln(a)=1\]
这里面
\[\frac{d}{da}(a-a\ln(a)-\ln(a))=-\frac{1}{a}-\ln(a)=\ln(\frac{1}{a})-\frac{1}{a}<0\]
于是$a-a\ln(a)-\ln(a)=1$只有一个解，一眼看出$a=1$
(2)、
首先你看看这两个函数，两端都是到正无穷的，最小值还相等，那你要想$y=b$和两个函数总共3个交点，唯一的办法，就是让$y=b$要过这两个函数本身的交点，假设这个交点为$(x_0,b)$好了，也就是有
\[f(x_0)=g(x_0)=b\]
另外两个交点为$x_1, x_2$，也就有
\[f(x_1)=f(x_0)=g(x_0)=g(x_2)=b\]
而且还很容易证明$x_1<x_0<x_2$
注意到其实会有
\[g(x)=f(\ln(x))\]
因此这事还有
\[f(x_1)=f(x_0)=f(\ln(x_0))=f(\ln(x_2))\]
这就相当于$f(x)=b$存在$x=x_1,x_0,\ln(x_0),\ln(x_2)$总共4个解
由于$f(x)=b$最多也就两个解，你这里给我冒出来4个，显然是不行的，得有两组分别重合，这里面$x_1,x_0,x_2$相互不重合，那能组合的也就以下几种情况：
1、
\[x_1=\ln(x_0), x_0=\ln(x_2)\]
2、
\[x_1=\ln(x_2), x_0=\ln(x_0)\]
这里面第二种显然没戏，怎么可能有$x_0=\ln(x_0)$，因此只能第一种，那么就有
\[e^{x_0}=x_2\]
接下来
\[f(x_0)=g(x_0)\]
\[e^{x_0}-x_0=x_0-\ln(x_0)\]
\[2x_0=e^{x_0}+\ln(x_0)=x_2+x_1\] |
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