求函数 $f(x)=\big(\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}-3)\big(\sqrt{1-x^2}+1\big)$ 的值域

isee

源自知乎提问


题：求函数 $f(x)=\big(\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}-3)\big(\sqrt{1-x^2}+1\big)$ 的值域.

严格的证明：

设 $\sqrt{1+x}=a\in[0,\sqrt 2]$ , $\sqrt{1-x}=b\in[0,\sqrt 2]$ 且 $a^2+b^2=2$ ，则 $\frac {a+b}2 \leqslant \sqrt{\frac {a^2+b^2}2}=1,$ 即 $a+b\leqslant 2.$ （取等号时 $a=b=1$ 亦即 $x=0$）

又 $(a+b)^2=2+2ab\geqslant 2\Rightarrow a+b\geqslant \sqrt 2$（取等号时 $ab=0$ 亦即 $x=1 ~\lor~ -1$），于是

\begin{align*}
y&=(a+b-3)(ab+1)\\[1ex]
&=(a+b-3)\Big(ab+\frac {a^2+b^2}2\Big)\\[1ex]
&=\frac 12(a+b-3)(a+b)^2\\[1ex]
&=\frac 12t^3-\frac 32t^2,t=a+b\in [\sqrt 2,2]\\[1ex]
y'&=\frac 32t^2-3t\\[1ex]
&=\frac 32t(t-2)<0\\[1ex]
\therefore ~ &y \searrow\\[1ex]
y_{\max}&=y(\sqrt 2)=\sqrt 2-3~(=f(\pm 1)),\\[1ex]
y_{\min}&=y(2)=-2~(=f(0)).
\end{align*}

PS：关于 (a+b) 的函数是一个减函数，其次求 (a+b) 的范围不用那么麻烦，只是当时已经顺手写完了而已：

\[(a+b)^2=2+2\sqrt {1-x^2}\in [2,4]\] 这种根式和平方求范围是常见的.

如果我们知道 $f(x)$ 是下凸的，则还可以如下解决. （比如小题中使用）

($y=\sqrt x$ (类) 上凸性质的应用.  方法启发自kuing)




$g(x)=\sqrt {1+x}+\sqrt {1-x}-3<0$ 和 $h(x)=\sqrt{1-x^2}-1\geqslant 0$ 均为上凸的( $y=\sqrt x$ 或复合)，但由于前者是负的，于是 \[f(x)=g(x)h(x),\] 就为下凸（注：严格来说需要证明$f''(x)\geqslant 0$ ）了，从而最大值是容易的，即$f(x)_{\max}=\max\{f(-1),f(1)\}$.

下面处理的是函数 $f(x)$ 的最小值

\begin{align*}
y&=(a+b-3)(ab+1)\\[1ex]
&=(a+b-3)\Big(ab+\frac {a^2+b^2}2\Big)\\[1ex]
&=\frac 12(a+b-3)(a+b)^2\\[1ex]
&=-\frac 14\big(6-2(a+b)\big)(a+b)(a+b)\\[1ex]
&\geqslant -\frac 14\left(\frac {6-2(a+b)+2（a+b)}{3}\right)^3\\[1ex]
&=-2.
\end{align*}

hbghlyj

Wikipedia:上凸函数是指图像上方的点的集合为凸集的函数。
$\sqrt x$是下凸函数.

$\sqrt{1-x^2}$是下凸函数.

isee

hbghlyj 发表于 2022-10-23 22:30
Wikipedia:上凸函数是指图像上方的点的集合为凸集的函数。
$\sqrt x$是下凸函数.
$\sqrt{1-x^2}$是下凸函数 ...

国内外教材定义是相反的，总之，主楼指的是 二阶导数<0

hbghlyj

erachang的回答
先把結論放在前面：
1，並不是conVex concAve的圖像記憶原因；
2，並不是約定俗成的歷史原因；
3，並不是教材版本，國內外術語差異的問題（無論是國內還是國外，關於convexity的文章的定義中，不等號方向都是一致的）；
4，並不是由epigraph決定了凸性定義（凸函數的定義確實是和凸集相關，但鑒於與sublevel set的對稱性，其並不是和epigraph相關）；
5，是凸性本身的性質使這樣的定義便利於凸性的討論。目前的定義方法雖然違反了直覺提高了記憶難度, 但這樣定義函數的凸性(convexity)是和空間的凸性, 凸集是聯繫起來的, 三者的convex說的是同一個性質. 而一旦採用題主所言符合常識的定義, 就會出現空間的凸性和函數的凸性不相匹配這樣荒謬的結論.
回顧Banach空间中凸集（Convex Set）的定義：

Def.1 \(X\) 是Banach空間， \(C\) 是 \(X\) 的子集，若對於任意 \(x,y\in C\) 有 \(\frac{x+y}{2}\in C\) ，則稱 \(C\) 是凸集。

從而有凸空間（Convex Space）的定義如下：

Def.2 若 \(X\) 的單位球是凸集，則 \(X\) 是凸的。

那麼 \(X\) 是凸的等價於
（1）若對於任意 \(x,y\in B\)，有 \(\frac{x+y}2\in B\) 其中 \(B\) 是单位球。
又等價於
（2）若對於任意 \(x,y\) 滿足 \(\|x\|\le 1, \|y\|\le 1\) , 有 \(\left\|\frac{x+y}{2}\right\|\le1\) 。
注意此處出現的是小於等於號. 又留意到凸函數(convex function)的定義:

Def.3 \(X\) 是Banach空間, \(E\in X\) , \(f:E\rightarrow R\) , 若對於任意 \(x,y\in E\) , 有 \(f\left(\frac{x+y}{2}\right)\le\frac{1}{2}(f(x)+f(y))\) , 則稱 \(f\) 是凸函數.

觀察到不等號方向是統一的。統一的不等號方向有利於所有關於凸性的相應討論。不僅僅是這幾個簡單的定義，在更深入討論各類凸性的時候，取統一的等號方向會得出很優美簡單的結論，比如：

Thm.1 \(X\) 是Banach空間，\(x\in X\) ，取 \(f(x)=\|x\|^2\) ，有
（1） \(X\) 是一致凸的當且僅當 \(f\) 在單位球上是一致凸的；
（2） \(X\) 是局部一致凸的當且僅當 \(f\) 是一致凸的；
（3） \(X\) 是嚴格凸的當且僅當 \(f\) 是基本嚴格凸的。

採用符合常識的定義的話 \(f\) 就需要變成 \(f(x)=-\|x\|^2\) 。正是由於可以避免出現過多的負號, 數學家們纔採用目前的定義。

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匿名用户的回答
那么我们来讲凸函数（convex function）为什么叫做是凸（convex）的：这是因为凸函数与凸集（convex set）有联系，而凸集的定义没有争议。
1. 凸函数与凸集通过 sublevel sets 这个概念联系起来。
对于任意来说，一个凸函数的 $α$-sublevel set 是一个凸集。
2. 凸函数与凸集通过 epigraph 这个概念联系起来。
凸函数的 epigraph 是一个凸集，反之也成立。也就是说，一个函数是凸函数，当且仅当它的 epigraph 是凸集。
参考资料：
Stephen Boyd and Lieven Vandenberghe. Convex Optimization. Cambridge University Press, 2004.

hbghlyj

mathsisfun.com/calculus/concave-up-down-convex.html

isee

hbghlyj 发表于 2022-10-23 22:53
中文“凸函数”、“凹函数”有不同的用法, 但是“上凸函数”、“下凸函数”只有一种用法 ...

把主楼中的函数二字去掉了，总之，此处不必细究，我的本意是二阶导数小于零的函数的图象性态

kuing

我一直以来的理解：
“凸”是重要概念，而定义的东西通常以正为先，于是 `f''(x)>0` 就叫凸函数，相反的就叫凹。
但在中文里，从字形来看，“凸”和“凹”两字的样子却是对应 `f''(x)<0` 和 `f''(x)>0` 的，混淆由此产生。
为避免混淆，就出现了另一种叫法：“上凸”与“下凸”，这里的上下指的是凸出的方向，∩是向上凸起，∪反之。
今天看到 hbghlyj 的理解才知道，仍然可以有不同的理解，无法避免混淆。

isee

“凸”是重要概念，而定义的东西通常以正为先，于是 $f''(x)>0$ 就叫凸函数，相反的就叫凹

这个和国内绝大数《数学分析》中的定义是一致的.  

我在知乎已经碰到很多回（不同的定义），所以，要用 Jensen不等式 时，要配上二阶导数的符号，或图象以表明曲线性态.



我个人以为，混淆不是因为中文的汉字凹凸，而是国外教材定义（与国内相较）是反的！比如我能接触到 香港的，在英文留学的等等学数学的，不经意就会引起误会.

kuing

随便吧，成因如何不重要了，反正“`\sqrt x` 上凸、`x^2` 下凸”这种说法我已经说了十几年，根据路径依赖理论，我不可能忽然反过来。

isee

kuing 发表于 2022-10-23 23:31
我一直以来的理解：
“凸”是重要概念，而定义的东西通常以正为先，于是 `f''(x)>0` 就叫凸函数，相反的就 ...

我说的下凸是指函数图象总在（任意一条）切线的上方，如$y=\mathrm e^x$；

上凸则是在切线下方，如$y=\ln x$，其实也是和绝大数国内教材一致.

kuing

说回正题吧：

$g(x)=\sqrt {1+x}+\sqrt {1-x}-3<0$ 和 $h(x)=\sqrt{1-x^2}-1\geqslant 0$ 均为上凸的( $y=\sqrt x$ 或复合)，但由于前者是负的，于是 \[f(x)=g(x)h(x),\] 就为下凸了

这个推理是不是有问题？

kuing

如果是我写的话，几行就完事了。
令 `t=\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}`，平方得 `t^2=2+2\sqrt{1-x^2}\in[2,4]`，故 `t\in[\sqrt2,2]`，然后
\[f(x)=(t-3)\frac{t^2}2=g(t),\]
求导就不写了。