偶然看到的教师群讨论题，想请教此题的几何背景是什么

snowblink

如图，已知 $A, B, C, D$ 为椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y}{b^2}=1$ 上四点，满足直线 $A B$，直线 $B C$，直线 $C D$ 均为圆 $x^2+y^2=b^2$ 的切线．直线 $A B$ 与直线 $C D$ 交于点 $M$，直线 $A C$ 与 $B D$ 交于点 $N$，点 $O$ 为坐标原点．
（1）求证：$k_{O M} \cdot k_{O N}$ 为定值；
（2）记 $B C$ 与圆的切点为 $S$，求证 $k_{S M}$ 为定值，并判断点 $N$ 是否在直线 $S M$ 上；
（3）求点 $M$ 的轨迹方程．

snowblink

第一问用软件演示了下不是定值。。但出题人假定的是S为动点，这样的话M会是一个椭圆，应该是一个彭赛列闭合问题
不过第二问三点共线还没证出来

Aluminiumor

第 1 问，应为 $k_{ON}/k_{OM}$ 为定值
有空再写下证明

lxz2336831534

请问那个教师讨论群是什么，我也想加入

lxz2336831534

斜率之比是一个射影性质，这个题中，ON,OM，x轴，y轴的线交比用斜率表示，就是ON，OM斜率之比。先看图片吧
最后M，N的轨迹是锥线，这个性质是，包络变换的退化情况，知乎作者鸽姬布有讲过包络变换。这题应该还能推广为不共根轴的情况，也就是任意两条锥线。这题的推广，等改日有时间再证明。