使不等式$\dfrac{\dfrac{a^2}{b}+\dfrac{b^2}{a}}{2}$的最大正整数$n$，

lemondian

判断是否存在最大的正整数$n$，使得不等式$\dfrac{\dfrac{a^2}{b}+\dfrac{b^2}{a}}{2}\geqslant \sqrt[n]{\dfrac{a^n+b^n}{2}}$对所有的正实数$a$和$b$都成立。如果存大这样的最大正整数$n$，确定它的值。

kuing

我建议标题的公式代码改成 \frac12(\frac{a^2}b+\frac{b^2}a) `\frac12(\frac{a^2}b+\frac{b^2}a)`，现在标题栏太高不好看。

Czhang271828

算了下连续参数 $n=t\in [1,+\infty)$, 在 $a=b$ 局部的性态, 使得不等式成立的最大常数常数是 $t=9$.

答案应该就是 $t=9$, 等一个巧妙的解答.

不妨设 $a\geq b=1$, 则 $n=9$ 时
$$
(a^2+a^{-1})^9-2^8(1+a)=a^{-9}\cdot (a - 1)^4 (a + 1) (a^2 - a + 1) (a^2 + a + 1)^4 (a^{12} + 12 a^9 + 70 a^6 + 12 a^3 + 1)\geq 0.
$$
显然 $n=10$ 时代入 $a=1.0001$, $b=1$ 知不对.

kuing

看来我去年在 kuing.cjhb.site/forum.php?mod=viewthread&tid=11776&page=1#pid57148 里面写的方法，你完全没学会。

首先取 `b=1`，令
\[f(a)=\frac12\left(a^2+\frac1a\right)-\sqrt[n]{\frac{a^n+1}2},\]
经求导计算有
\[f(1)=f'(1)=0,~f''(1)=\frac{9-n}4,\]
那么如果 `n>9`，则 `f''(1)<0`，这将使得 `f(x)` 在 `x=1` 的某邻域内的函数值为负，此时原不等式不成立，因此 `n` 不能超过 `9`。

下面证明当 `n=9` 时不等式成立，此时令 `a^3=x`, `b^3=y`，则
\begin{align*}
\frac12\left(\frac{a^2}b+\frac{b^2}a\right)\geqslant\sqrt[9]{\frac{a^9+b^9}2}&\iff\frac1{x^3y^3}\left(\frac{x+y}2\right)^9\geqslant\frac{x^3+y^3}2\\
&\iff\left(\frac{x+y}2\right)^8\geqslant x^3y^3(x^2-xy+y^2),
\end{align*}
令 `p=\bigl(\frac{x+y}2\bigr)^2`, `q=xy`，则上式等价于
\[p^4\geqslant q^3(4p-3q)\iff(p-q)^2(p^2+2pq+3q^2)\geqslant0,\]
显然成立。

综上得最大 `n` 为 `9`。