求助：一道不等式的证明

敬畏数学

$ x,y $均为正实数，求证：$ \frac{x^2}{x+2y} +\frac{4(y^2+2)}{xy+2}\geqslant 4$

kuing

给帖子贴上“二元不等式”的标签后，在自动生成的“相关帖子”一栏里马上就有一道看着就很像的题：

正实数 $x,y$ , 求 $\frac{x^2}{xy+1}+\frac{y^2+2}{x+y}$ 的最小值

1# 系数有点不平衡，把它平衡一下，作置换 `x\mapsto2x`，1# 就变成 \[\frac {x^2}{x+y}+\frac {y^2+2}{xy+1}\geqslant 2,\] 和那帖更像了，只是分母换了位置。方法自然可以照搬： \[\LHS\geqslant \frac {x^2}{\frac {x^2+1}2+\frac {y^2+1}2}+\frac {y^2+2}{\frac {x^2+y^2}2+1}=2.\]

敬畏数学

kuing 发表于 2024-7-13 14:51
给帖子贴上“二元不等式”的标签后，在自动生成的“相关帖子”一栏里马上就有一道看着就很像的题：
正实数  ...

山川浮云

敬畏数学 发表于 2024-7-19 15:51

练练输入操作

\[\LHS\geqslant \frac{x^2}{\frac{x^2+4}{4}+\frac{4y^2+4}{4}}+\frac{4(y^2+2)}{\frac{x^2+4y^2}{4}+2}=4\]
当且仅当\(x=2,y=1  \)时取得最小值.

敬畏数学

山川浮云 发表于 2024-7-21 00:11
练练输入操作

\[\LHS\geqslant \frac{x^2}{\frac{x^2+4}{4}+\frac{4y^2+4}{4}}+\frac{4(y^2+2)}{\frac{x ...

山川浮云

也跟一个，简单的类似题，已知\(x,y,z\)为正实数，求\(\frac{\sqrt {xy} +3\sqrt{yz}}{x+2y+z}\)的最大值.