构造性最值问题

力工

不知这道题怎么解，这样的题对我全是懵朦梦，求大神们出手指导。
对$1,2,\cdots ,10$的一个排列$x_1,x_2,\cdots ,x_{10}$,求$S=|2x_1-3x_2|+|2x_2-3x_3|+\cdots +|2x_9-3x_{10}|+|2x_{10}-3x_1|$的最值。

其妙

这不是《2024北京大学暑期学堂测试试题》吗？

力工

其妙 发表于 2024-8-16 19:11
这不是《2024北京大学暑期学堂测试试题》吗？

对啊，但一楼的题更早，不知是哪的模拟题

Aluminiumor

不妨 $x_1=1$,则
$$\begin{align*}
S
& =3x_2-2+\sum_{i=2}^{9}|3x_{i+1}-2x_i|+2x_{10}-3\\
& \geq3x_2-2+|3x_{10}-2x_2+\sum_{i=3}^{9} x_i|+2x_{10}-3 \\
& \geq3x_2-2+3x_{10}-2x_2+\sum_{i=3}^{9} x_i+2x_{10}-3 \\
& = \sum_{i=2}^{10} x_i+4x_{10}-5\\
& =4x_{10}+49
\end{align*}$$
取 $x_{10}=2$ 可得 $S\geq57$.
$(1,10,9,8,7,6,5,4,3,2)$ 可以取到 $57$.

去除绝对值符号后，$S$ 的表达式中必有$10$个负号。
故
$$S\leq(2+3)\times(10+9+8+7+6)-(2+3)\times(5+4+3+2+1)=125$$
$(10,5,6,4,7,2,8,1,9,3)$ 可以取到 $125$