一道向量题，实际是双曲线题，两种相切的不同

kuing

前天看到一题：

在平面直角坐标系中，设 `O` 为原点，`\bm a=\vv{OA}`, `\bm b=\vv{OB}`, `\bm c=\vv{OC}`，不妨设 `A(2,0)`, `A'(-2,0)`，
则条件变成 `|A'B|=|AB|+2`, `\angle COA=60\du` 且 `|BC|=1/2`，而 `\bm a\cdot\bm c=2C_x`（`C_x` 表示 `C` 的横坐标），所以问题转化为：

点 `B` 在双曲线 `x^2-y^2/3=1` 右支上，点 `C` 在 `y=\pm\sqrt3x`（`x>0`）上，且 `BC=1/2`，求点 `C` 的横坐标的范围。

由于那直线恰好是双曲线的渐近线，所以显然无最大值。
而最小值则是以 `C` 为圆心、`1/2` 为半径的圆与双曲线右支相切时取得。

经过计算，发现需要解一个三次方程，且无简单解，具体的过程就不写了，只说结果：
记 `C_x=t`，则 `t` 的最小值是方程 `3072 t^6+896 t^4+2044 t^2-1521=0` 的唯一正根，近似值为 `0.6919`。
于是这道题就算是废了。

以上这些都不是重点，重点是：
网友说他看到的答案，是以 `B` 为圆心、`1/2` 为半径的圆与直线相切来算的。这时就很容易能解出来。

估计这也是命题者的想法。
又或许命题者认为 “在双曲线上作圆与直线相切” 和 “在直线上作圆与双曲线相切” 是一样的。
其实这是两回事，如下图：


如果这题改为求 `\bm a\cdot\bm b` 的最小值，那才是他这样切。（又或者，只是图片打错了？）