2014年广东卷理科第20题——椭圆两垂直切线垂足轨迹蒙日圆

isee

2014年广东卷理科第20题，如下：

已知椭圆$C：\frac {x^2}{a^2}+\frac {y^2}{b^2}=1(a>b>0)$的一个焦点为$(\sqrt 5,0)$ ，离心率为$\frac {\sqrt 5}3$ ，
（1）求椭圆$C$的标准方程；
（2）若动点$P(x_0,y_0)$为椭圆外一点，且点$P$到椭圆$C$的两条切线相互垂直，求点$P$的轨迹方程。


以下几何证法源自高志雄@江苏省姜堰中学；iC——就是本人——正巧也做过此命题的逆命题，是近期熟悉的题。

最重要的是，iC几何画板里画椭圆均是这样的画的啊，此时恰有空，整整也有点意思。


略解如下，直接从第（2）问开始。

$F_{11},F_{12}$为左焦点$F_1$关于椭圆两切线$PA,PB$的对称点，则由光学性质，椭圆第一定义，知

$F_{11},F_{12}$在以右焦点$F_2$为圆心，半径为$F_2F_{12}=2a$的圆上。

由对称作图，知$F_{11},P，F_{12}$三点共线，连接$PF_2$，则$PF_2\perp F_{12}F_{11}$。

于是
\[PF_1^2+PF_2^2=PF_{12}^2+PF_2^2=F_{12}F_2^2\]

建立直角坐标系，取椭圆标准方程$C：\frac {x^2}{a^2}+\frac {y^2}{b^2}=1(a>b>0)$，记$P(x,y)$:

\[(x+c)^2+y^2+(x-c)^2+y^2=4a^2\Rightarrow x^2+y^2=a^2+b^2\]

代入数据，上题就完工。

爪机专用

我习惯叫它伴随圆，早就被玩烂了， 所以我也没选上帖子里面。
几何方法也有的，光学性质用一下。

其妙

回复 2# 爪机专用
的确早就被玩烂了，用一下维达定理$k_1k_2=-1$立刻搞定，

kuing

回复 3# 其妙

这种方法多数人都知道，几何方法相对就比较少人知道了……

isee

嘿嘿，悠闲数学娱乐论坛(第2版) 里可是第一帖……




当然，这个点$P$的轨迹就是蒙日圆了，也正如楼上，有叫伴随圆的。

不过，这里向几何大师加斯帕尔·蒙日(Gaspard Monge)致敬，标题就写蒙日圆了

isee

我习惯叫它伴随圆，早就被玩烂了， 所以我也没选上帖子里面。
几何方法也有的，光学性质用一下。 ...
爪机专用 发表于 2014-6-9 22:53

检漏，不重复当然最好啦，哈哈

isee

擦，顺带把这题给纯几何化了：来自人教论坛的圆内定点对弦张角垂直求弦长范围，以前没注意到

当然，也能用来证主楼

其妙

回复 7# isee

青青子衿

回复 2# 爪机专用

我习惯叫它\(\color{Red}{伴随圆}\)，早就被玩烂了， 所以我也没选上帖子里面。
几何方法也有的，光学性质用一下。 ...
爪机专用 发表于 2014-6-9 22:53

圆锥曲线压轴题之“准圆”
准圆与准线的一种关联
有心圆锥曲线的内、外准圆　
定理1：椭圆\(x²/a²＋y²/b²=1(a>0，b>0)\)的外切矩形内接于圆\(x²＋y²＝a²＋b²\)．①
定理2：双曲线\(x²/a²－y²/b²＝1(a>b>0,即e<√2)\)的外切矩形内接于圆\(x²＋y²＝a²－b²\)．②
定理3：椭圆\(x²/a²＋y²/b²＝1(a>0,b>0)\)的内接菱形外切于圆\(x²＋y²＝a²b²/(a²＋b²)\)．③
定理4：双曲线\(x²/a²－y²/b²＝1(b>a>0,即e>√2)\)的内接菱形外切于圆\(x²＋y²＝a²b²/(b²－a²)\)．④
　注记(1)称圆①、②为有心圆锥曲线的\(\color{Red}{外准圆}\)，圆①又叫\(\color{Red}{蒙日圆}\)，是法国数学家G．Monge（1745-1818）最先发现的；称圆③、④为有心圆锥曲线的\(\color{Red}{内准圆}\)。
　　  (2)定理1－定理4很可能是重复发现的结论。\(\color{Red}{(外)准圆}\)是\(\color{Red}{单墫}\)教授命名的。

青青子衿

回复 4# kuing

回复  其妙 
这种方法多数人都知道，几何方法相对就比较少人知道了……
kuing 发表于 2014-6-9 23:14

关于几何证明法，蒋声老师的《趣味的解析几何》p278蒙日圆

要是kuing能把它变成这种图就好了，谢谢！

回复 4# kuing
请问这是用tikz画的吗？？
能否用tikz画蒙日圆？
Orthoptic (geometry) - Wikipedia
en.wikipedia.org/wiki/Orthoptic_(geometry)
Orthoptic (geometry) - Wikiwand
wikiwand.com/en/Orthoptic_(geometry)

其妙

回复 10# 青青子衿
青青这次好可爱呀！
叫蒙哥圆还不错，monge，怎么变成蒙日？法文时这样读的呀？

isee

回复 11# 其妙


    10#的图片第7行，没细看吧，有“上节”2字，这个证明并不完整，少引理。

    蒙日圆，约定俗成了，不随便改的。


    这个和北京的那个椭圆内切圆，相辅相成，好玩呢。。。

青青子衿

回复 12# isee

回复  其妙
   10#的图片第7行，没细看吧，有“上节”2字，这个证明并不完整，少引理。
   蒙日圆， ...
isee 发表于 2014-6-10 23:53

“上节”证明的是：椭圆关于一个焦点的垂足曲线，是以椭圆中心为圆心，椭圆长轴为半径的圆
垂足曲线:
给定的曲线                垂足点        垂足曲线
直线                        任意                点
圆                        圆周上        心脏线
抛物线                焦点           直线
其它圆锥曲线         焦点           圆
对数螺线                极点           相等的对数螺线
外摆线或内摆线        中心                玫瑰线
圆的渐伸线          圆心           阿基米德螺线
zh.wikipedia.org/wiki/垂足曲线

青青子衿

回复  青青子衿
青青这次好可爱呀！
叫蒙哥圆还不错，monge，怎么变成蒙日？法文时这样读的呀？ ...
其妙 发表于 2014-6-10 21:14

回复 11# 其妙
加斯帕·蒙日,佩吕斯伯爵(Gaspard Monge,1746年5月10日-1818年7月28日),法国数学家,画法几何创始人。
zh.wikipedia.org/wiki/蒙日
我也觉得很无解，为什么要叫蒙日呢？不过我觉得，不是他的名字不好听，而是我们的思想变得更无趣了！(言论仅供参考)

其妙

回复 14# 青青子衿
啥子烂链接哟，真无趣

青青子衿

回复 15# 其妙
不好意思，有点问题，不过现在修好了！

青青子衿

回复 16# 青青子衿
今天偶然翻到一个优酷视频：互相垂直的两条椭圆切线的交点轨迹
v.youku.com/v_show/id_XMTQ0OTYwOTQ4.html
和zhidao.baidu.com/question/120223666.html

aipotuo

回复  青青子衿
今天偶然翻到一个优酷视频：互相垂直的两条椭圆切线的交点轨迹

和
...
青青子衿 发表于 2015-2-19 14:16

以上视频提到的:
斜率为$m$的切线方程为$y=mx\pm\sqrt{a^2m^2+b^2}$
则$(y-mx)^2=a^2m^2+b^2$,
那么$(x^2-a^2)m^2-2xym+(y^2-b^2)=0$
看成关于$m$的方程, 由韦达定理得$m_1m_2=-1$, 故...
--------------------------
疑问: 为什么$m_1m_2=-1$?
答: 视频中此处是错的. 增加所谓的切线$m_2$(斜率为$-1/m$), 化简得$(y^2-b^2)m^2+2xym+(x^2-a^2)=0$, 两式相加即可发现结果.(交规法?)

hbghlyj

设k,l为定直线，A∈k,B∈l为定点，考虑所有与k相切于A且与l相切于B的二次曲线。证明这些二次曲线的蒙日圆为共轴圆系

hbghlyj

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