浙江2025第19题（2）解答题怎么表达呢？

realnumber

• 求函数 $f(x)=5 \cos x-\cos 5 x$ 在区间 $[0, \frac{\pi}{4}]$ 的最大值；
• 给定 $\theta \in(0, \pi)$ 和 $a \inR$，证明：存在 $y \in[a-\theta, a+\theta]$，使得 $\cos y \leqslant \cos \theta$；
• 设 $b \inR$，若存在 $\varphi \inR$ 使得 $5 \cos x-\cos (5 x+\varphi) \leqslant b$ 对 $x \inR$ 恒成立，求 $b$ 的最小值．

y所在区间长度是$2\theta$,与$2(\pi-\theta)$之和为$y=\cos x$的一个周期，结论显然成立。怎么说好一些

hbghlyj

设 $S = \{y \in \mathbb{R} \mid \cos y > \cos \theta\}$，则
\[ S = \bigcup_{k \in \mathbb{Z}} (2k\pi-\theta, 2k\pi+\theta). \]
这些开区间的长度均为 $2\theta$。

其余部分 $A = \mathbb{R} \setminus S$（即 $\{y \mid \cos y \leq \cos \theta\}$）可写成
\[ A = \bigcup_{k \in \mathbb{Z}} [2k\pi+\theta, 2k\pi+2\pi-\theta], \]
每段长度为 $2(\pi-\theta)$。

因为一个余弦周期是 $2\theta + 2(\pi-\theta) = 2\pi$，且 $2(\pi-\theta) > 0$，
故在实轴上"高谷"($A$) 与"山峰"($S$) 交替出现。

设 $I = [a-\theta, a+\theta]$（长度同样是 $2\theta$）。
若 $I$ 完全落在某一"山峰" $(2k\pi-\theta, 2k\pi+\theta)$ 内，则必有
\[ a-\theta \geq 2k\pi-\theta \text{ 且 } a+\theta \leq 2k\pi+\theta \Rightarrow a = 2k\pi, \]
这只有在 $I$ 的两端点恰好卡在开区间端点时才可能。
对闭区间 $I$ 而言，即使 $a=2k\pi$，其端点 $y=a\pm\theta$ 也已落入 $A$，
因而 $I \cap A \neq \emptyset$。

因此任意 $a$ 都保证 $I$ 与 $A$ 相交，从而存在
$y \in [a-\theta, a+\theta]$ 使 $\cos y \leq \cos \theta$，证毕。

力工

hbghlyj 发表于 2025-6-8 23:11
设 $S = \{y \in \mathbb{R} \mid \cos y > \cos \theta\}$，则
\[ S = \bigcup_{k \in \mathbb{Z}} (2k\pi ...

(3)的过程中的疑问：
【过程】对任意的$\phi\inR$,取$a=\phi,\theta=\frac{5\pi}{6}$,由(2)知存在$y\in[a-\theta,a+\theta]$，$\cos y\leqslant\cos\frac{5\pi}{6}$，设$y=5x+\phi,x=\frac{y-\phi}{5}\in[-\frac{\pi}{6},\frac{\pi}{6}]$,则可得$b\geqslant 5\cos x-\cos(5x+\phi)\geqslant 3\sqrt{3}$.(A)
又由(1),$\phi=0$时，$5\cos x-\cos5x\leqslant 3\sqrt{3}$,(B)
所以，$b$最小为$3\sqrt{3}$.
【疑问】各位大佬们，明白人们，这个过程我咋越想越迷糊，原题(3)是要求先求最大值，再指出$\phi$存在，求出这个最大值的最小值。
但我觉得，上面过程(A)是先求出最小值，再(B)指出存在$\phi$,这个最小值就是最大值。
是我理解错了，还是上面的表达不清造成的，敬请大家指点。

kuing

若 `[a,b]\subset(c,d)`，则 `c<a` 且 `b<d`，因此 `d-c>b-a`。

回到原题第二问，假设不存在，则对任意 `y\in[a-\theta,a+\theta]`，都有 `\cos y>\cos\theta`，而
\[\cos y>\cos\theta\iff y\in\bigcup_{k\inZ}(-\theta+2k\pi,\theta+2k\pi),\]
于是存在 `k\inZ` 使得 `[a-\theta,a+\theta]\subset(-\theta+2k\pi,\theta+2k\pi)`，根据开头说的，就有 `\theta+2k\pi-(-\theta+2k\pi)>a+\theta-(a-\theta)`，即 `2\theta>2\theta`，矛盾。

力工

力工 发表于 2025-6-24 12:59
(3)的过程中的疑问：
【过程】对任意的$\phi\inR$,取$a=\phi,\theta=\frac{5\pi}{6}$,由(2)知存在$y\in[a- ...

各位不愿意康康吗？