浙江2025第19题（2）解答题怎么表达呢？

realnumber

• 求函数 $f(x)=5 \cos x-\cos 5 x$ 在区间 $[0, \frac{\pi}{4}]$ 的最大值；
• 给定 $\theta \in(0, \pi)$ 和 $a \inR$，证明：存在 $y \in[a-\theta, a+\theta]$，使得 $\cos y \leqslant \cos \theta$；
• 设 $b \inR$，若存在 $\varphi \inR$ 使得 $5 \cos x-\cos (5 x+\varphi) \leqslant b$ 对 $x \inR$ 恒成立，求 $b$ 的最小值．

y所在区间长度是$2\theta$,与$2(\pi-\theta)$之和为$y=\cos x$的一个周期，结论显然成立。怎么说好一些

hbghlyj

设 $S = \{y \in \mathbb{R} \mid \cos y > \cos \theta\}$，则
\[ S = \bigcup_{k \in \mathbb{Z}} (2k\pi-\theta, 2k\pi+\theta). \]
这些开区间的长度均为 $2\theta$。

其余部分 $A = \mathbb{R} \setminus S$（即 $\{y \mid \cos y \leq \cos \theta\}$）可写成
\[ A = \bigcup_{k \in \mathbb{Z}} [2k\pi+\theta, 2k\pi+2\pi-\theta], \]
每段长度为 $2(\pi-\theta)$。

因为一个余弦周期是 $2\theta + 2(\pi-\theta) = 2\pi$，且 $2(\pi-\theta) > 0$，
故在实轴上"高谷"($A$) 与"山峰"($S$) 交替出现。

设 $I = [a-\theta, a+\theta]$（长度同样是 $2\theta$）。
若 $I$ 完全落在某一"山峰" $(2k\pi-\theta, 2k\pi+\theta)$ 内，则必有
\[ a-\theta \geq 2k\pi-\theta \text{ 且 } a+\theta \leq 2k\pi+\theta \Rightarrow a = 2k\pi, \]
这只有在 $I$ 的两端点恰好卡在开区间端点时才可能。
对闭区间 $I$ 而言，即使 $a=2k\pi$，其端点 $y=a\pm\theta$ 也已落入 $A$，
因而 $I \cap A \neq \emptyset$。

因此任意 $a$ 都保证 $I$ 与 $A$ 相交，从而存在
$y \in [a-\theta, a+\theta]$ 使 $\cos y \leq \cos \theta$，证毕。