|
|
无需三角函数表示
$$
\phi(n)=
\begin{cases}
1,&n\equiv0\pmod4,\\
0,&\text{否则}
\end{cases}
$$
首先，利用四次单位根 $1,i,-1,-i$ 的性质可得
$$
\phi(n)=\frac{1}{4}\bigl(1^n+i^n+(-1)^n+(-i)^n\bigr)$$
其次，也可用取整函数表示为
$$
\phi(n)=\Bigl\lfloor\frac{n}{4}\Bigr\rfloor-\Bigl\lfloor\frac{n-1}{4}\Bigr\rfloor,
$$
该式在 $n=4$ 时为 $\lfloor1\rfloor-\lfloor0.75\rfloor=1-0=1$，在 $n=3$ 时为 $\lfloor0.75\rfloor-\lfloor0.5\rfloor=0-0=0$，在 $n=0$ 时为 $\lfloor0\rfloor-\lfloor-0.25\rfloor=0-(-1)=1$ |
|
