关于利用均值不等式求 $2a+3b$ 最小值的记录

isee

源自知乎提问

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如果是随意编的，通常情况下会遇到高次方程而不可解（出其根）而难以下继.

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不过，此问数据下确实是可以求解析解的

题：若正实数a, b满足 $\frac1a+\frac1b=\sqrt{ab}$ ，求 $2a+3b$ 的最小值.

条件即 $(a+b)^2=a^3b^3$ ，设 $t=(2a+3b)^4$ ，构造齐次式得到 \[t=\frac{(a+b)^2(2a+3b)^4}{a^3b^3},\] 可令 $a=bx$ 便得到一元函数 \[t=f(x)=\frac{(x+1)^2 (2 x+3)^4}{x^3},\] 而 \[f'(x)=\frac{(2x+3)^3(x+1)\left(6x^2-x-9\right)}{x^4},\] 后面按部就班即解.

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记 $6x^2-x-9=0$ 的正根为 $x_0$ ，则后面用 $x_0^2=\frac{x_0+9}{6}$ 进行降次（计算）.

依加权均值不等式（ 我来更新了）
\begin{align*}
&\quad\,\,\left(x_0\cdot\frac a{x_0}+1\cdot b\right)^2\left(2x_0\cdot\frac a{x_0}+3\cdot b\right)^4\\[1em]
&\geqslant \left((x_0+1)\left(\frac a{x_0}\right)^{\frac{x_0}{x_0+1}}\bigg(b\bigg)^{\frac1{x_0+1}}\right)^2\left((2x_0+3)\left(\frac a{x_0}\right)^{\frac{2x_0}{2x_0+3}}\bigg(b\bigg)^{\frac3{2x_0+3}}\right)^4\\[1em]
&=(x_0+1)^2(2x_0+3)^4\left(\frac a{x_0}\right)^{\frac{2x_0}{x_0+1}+\frac{8x_0}{2x_0+3}}\bigg(b\bigg)^{\frac{2}{x_0+1}+\frac{12}{2x_0+3}},\tag{01}
\end{align*}
下面说明 \[\frac{2x_0}{x_0+1}+\frac{8x_0}{2x_0+3}=\frac{2}{x_0+1}+\frac{12}{2x_0+3}={\color{red}{3}}.\] 注意前面留的 $x_0^2=\frac{x_0+9}{6}$ 进行替换 \[\frac{2}{x_0+1}+\frac{12}{2x_0+3}=\frac{16x_0+18}{\frac{x_0+9}3+5x_0+3}=3,\] （——注：当然，视 $x_0$ 为待定正常数亦可，则得到 $x_0$ 满足 $6x_0^2-x_0-9=0$ ——）

（——注：啰嗦下，上面的注，正好说明了利用均值不等式求最值，无需提前知答案——）

同样可计算出 $\frac{2x_0}{x_0+1}+\frac{8x_0}{2x_0+3}=3$，代回 $(01)$ 式，稍加整理，于是乎 \begin{gather*}
\frac{\left(a+b\right)^2\left(2a+3b\right)^4}{a^3b^3} \geqslant \frac{(x_0+1)^2(2x_0+3)^4}{x_0^3}={\color{red}{f(x_0)}},
\end{gather*} 右端就是求导的结果.

最后利用 Mathematica 求得 $\Large (2a+3b)^4$ 最小值为

PS：仅加权均值即可，但数据太“无聊”，大可不必介意.  高一非数竞生大抵是处理不了的.

kuing

将系数 `2`, `3` 改为正数 `m`, `n`：
\begin{align*}
f(x)&=\frac{(x+1)^2(mx+n)^4}{x^3},\\
f'(x)&=\frac{(mx+n)^3(x+1)(3mx^2+mx-nx-3n)}{x^4},
\end{align*}
极值点
\[x_0=\frac{-m+n+\sqrt{m^2+34mn+n^2}}{6m},\]
代回化简得最小值为
\[\frac2{27}\bigl((m+n)\sqrt{(m^2+34mn+n^2)^3}-m^4+76m^3n+282m^2n^2+76mn^3-n^4\bigr).\]